郑 爱 琳

(西南大学 数学与统计学院, 重庆 400715)



关于不定方程x3±64=73y2*

郑 爱 琳

(西南大学 数学与统计学院, 重庆 400715)

摘要：不定方程是数论研究的一个重要分支，不仅其自身发展活跃，而且离散数学的各个领域也有重要的应用，对于解决现实问题有着重要的作用.主要利用pell方程、递归数列、同余式和平方剩余几种初等方法，针对D=73时，不定方程x3±64=Dy2的解进行讨论，证明了不定方程x3±64=73y2仅有整数解(x,y)=(∓4,0).

关键词：不定方程;整数解;递归数列;同余式

方程

x3±64=Dy2,x,y∈Z

(1)

(其中D为大于零的正整数)是一类基本而重要的不定方程，对它已有不少的研究工作.当D>2,D无平方因子且不能被3或6k+1的素数整除时，方程的解已经由文献[1]给出.但是当D为不含平方因子，并且能被3或6k+1的素数整除时，张攀[2]证明了当D=7,13,19,37,43时方程(1)的所有整数解.赵天[3]证明了不定方程x3+64=Dy2,当D=21时，仅有整数解(x,y)=(-4,0),(5,±3).牛芳芳[4]证明了不定方程x3-64=31y2仅有整数解(x,y)=(-4,0),(20,±16),(7,±3).董小倩[5]证明了不定方程x3±64=67y2仅有整数解(x,y)=(∓4,0).而对于D=73时不定方程的解还未解决.此处在此基础上，利用同余式的性质和递归数列的方法，证明了该方程只有平凡解(x,y)=(∓4,0).

引理 1[6]不定方程

x3-1=73y2,x,y∈Z

(2)

仅有整数解(x,y)=(1,0).

定理 1不定方程

x3-64=73y2,x,y∈Z

(3)

仅有整数解(4,0).

当x≡1(mod 2)时，式(3)化为(x-4)(x2+4x+16)=73y2，易知(x-4,x2+4x+16)=1或3，故式(3)有4种可能的分解：

情形1x-4=73a2，x2+4x+16=b2，y=ab.

情形2x-4=a2，x2+4x+16=73b2，y=ab.

情形3x-4=219a2，x2+4x+16=3b2，y=3ab.

情形4x-4=3a2，x2+4x+16=219b2，y=3ab.

以下分别讨论这4种情形所给式(3)的整数解.

情形1由x2+4x+16=b2可得x=0或-4,均不适合x-4=73a2，故该情形无式(3)的解.

(4)

(5)

(6)

(7)

其中n∈Z，显然-6≤xn≤6，从而式(4)(5)只须取自

情形3和情形4由于x≡1(mod 2)，所以x2≡1(mod 4)，代入情形3和情形4的第二式可知均有3b2≡1(mod 4)，这不可能，故情形3和情形4都无解.

综合上述4种情形的讨论可知，……