官 春 梅

(喀什大学 数学与统计学院,新疆 喀什 844006)



关于p次幂平均函数对数凸性的探讨

官 春 梅

(喀什大学 数学与统计学院,新疆 喀什 844006)

摘要：众所周知，两个正实数a与b的p次幂平均函数为 .证明了当p≤0时，幂平均函数Mp(a,b)关于参变数p是凸的; 进一步，在p≤0和p≥0时，幂平均函数Mp(a,b)关于参变数p还分别是对数凸及对数凹的.

关键词：幂平均函数；对数凸性；偏导数

1知识回顾

一直以来，幂平均函数始终是中学数学重点研究的主题之一.所谓两个正实数a与b的p次幂平均函数Mp(a,b)被定义为

其中参变量p∈R.为此，可从文献中找到有关Mp(a,b)的众多优美不等式，包括其他类型均值函数的不等式.

对固定的a,b>0，a≠b和p∈R，Mp(a,b)是参变量p的严格递增连续函数[1].同时，Mp(a,b)=aMp(1,b/a).Mildorf[2]研究了函数

并证明了对任给的正实数a和参变量p∈R，分别有

(A) 当p≥1时，f(p,a)关于p是凹的;

(B) 当p≤-1时，f(p,a)关于p是凸的.

此处将进一步研究幂平均函数Mp(a,b)关于参变量p的对数凸性.在此基础上，推广了一些已知的均值不等式.

2判别定理

定理1如果令f(p,a)=Mp(1,a)，那么下列结论成立:

(i) 当p≤0时，函数f(p,a)是对数凸的;

(ii) 当p≥0时，函数f(p,a)是对数凹的;

(iii) 当p≤0时，函数f(p,a)是凸的.

证明直接验证可知，对任意实数t，都有

(1)

在式(1)两边取对数，并令g(p,a)=lnf(p,a)可得tg(pt,a)=g(p,at)，对p分别求一阶和二阶导数有

(2)

特别地，在式(2)中取p=1，可得

(3)

由Mildorf所获得的结论(A)可知，g(p,a)关于参变量p单增且当p≥1时为凹函数.因此，对∀a>0和t∈R，g″11(1,at)≤0.

现在，讨论式(3)左边的函数.由于t3g″11(t,a)≤0，所以当p>0时，g(p,a)关于p是凹的.在此情况下，f(p,a)关于p对数凹，并且当p<0时，g(p,a)关于p是凸的.这就证明了结论(i)与(ii)成立.显然，由结论(i)立即可得结论(iii)成立.

3推广

下面，利用定理1的结论，给出一些已知均值不等式的推广.由定理1的结论(iii)立即可得推论……