刘 川 何

(重庆师范大学 数学学院，重庆 401331)



求解分裂可行问题的一种松弛投影算法

刘 川 何

(重庆师范大学 数学学院，重庆 401331)

摘要：主要研究了分裂可行问题的一种修正CQ算法的松弛形式，在已有CQ算法的一种修正形式上提出了其松弛算法，并证明了其收敛性，当参数满足一定条件时，该算法的收敛性成立.

关键词：松弛投影算法；分裂可行问题；收敛

0引言

设C，Q分别是Rn和Rm中的非空闭凸子集，A是实矩阵且A∈Rm×n，分裂可行问题(SFP)[1]就是要找到这样的元素x(如果这样的元素x是存在的).

x∈C，Ax∈Q

(1)

为了解决SFP问题，很多学者提出了各种各样的算法，其中Byrne提出了CQ算法[2]来解决SFP，其迭代公式为

(2)

受Byrne提出的CQ算法的影响，Wang和Xu[3]提出了如下迭代方法：对于任意的初始迭代点x1∈H,其中H为Hilbert空间，定义它的迭代序列为

(3)

其中，{αn}⊂(0,1).当{αn}满足下列条件时：

式(3)强收敛于式(1)的范数最小解.Wang[4]在式(3)的基础上提出了一种更一般的的形式，使得该算法的参数条件更弱.其算法如下：对于任意的初始迭代点x1∈H,其中H为Hilbert空间，定义它的迭代序列为

(4)

其中{αn}⊂(0,1).

1预备知识

定义1设x，y为n维欧式空间的任意向量，x和y的内积定义为

定义2设x为n维欧式空间的任意向量，Ω为n维欧式空间的任意非空闭凸子集，则x到Ω上的投影定义为

引理1设Ω为n维欧式空间的非空闭凸子集，则对于投影算子PΩ(x)有以下结论成立：

① ≥0,∀x∈Rn,y∈Ω;

①U是均值算子,即U=(1-β)I+βV,其中β∈(0,1)是一个常数并且V:H→H是非扩张算子，其中H为Hilbert空间；

2主要结果

下面给出对式(4)的松弛形式.

算法1对于任意的初始迭代点x1∈H,其中H为Hilbert空间，定义它……