段　峰

(铜陵职业技术学院　基础教学部,安徽 铜陵　244061)



Banach空间上正则半群的表示定理与范数连续

段峰

(铜陵职业技术学院基础教学部,安徽 铜陵244061)

摘要：因为解析半群、可微半群、紧半群都是范数连续C0半群，故C0半群的范数连续性是讨论半群属性的必要条件之一。类似地，讨论正则半群的解析性、紧性等重要性质时，正则半群的范数连续性尤其重要。通过论证，引入指数有界正则半群新的表示定理，在Banach空间上，给出了一个正则半群范数连续的充分条件。

关键词：正则半群；表示定理；范数连续；Banach空间

Representation Theorem of Regular Semigroups in Banach Spaces and Norm Continuity

DUAN Feng

(Department of Basic Teaching, Tongling Polytechnic,Tongling, Anhui244061,China)

Abstuact: Because the Analytic semigroups、Differentiable semigroups、Compact semigroups are the norm continuous C0-semigroups, the norm continuity of the C0-semigroups is one of the necessary conditions to discuss the semigroups property.Similarly, it is especially important to discuss the norm continuity of C-regularized semigroups when the important properties such as the analytical、compactness of theC-regularized semigroups are discussed.This paper will introduce a new representation method for theC-regularized semigroups of exponentially boundedC-regularized semigroups, and give a sufficient condition for aC-regularized semigroups norm continuous in Banach space.

Key words:C-regularized semigroups; representation theorem; norm continuity; Banach space

在Banach空间X上，设{T(t)}t≥0是指数有界强连续C-正则半群[1]，生成元为A，增长界为ω0，记(λ-A)-1=R(λ-A)，按照C-正则半群及其生成元A的定义，半群{T(t)C}t≥0满足C0半群的各种条件，从而具有C0半群的各种性质。故对Reλ>ω0,∀x∈X,有R(λ-A)C是范数有界的，且R(λ,A)Cx=∫0+∞e-λtT(t)xdt。

T(t)x-Cx=∫0tT(s)Axds=A∫0tT(s)xds[2]

(1)

(2)

(3)

根据文献[4]中定理，容易得到下面引理。

引理1设A生成Banach空间X上增长界为ω0的指数有界C-正则半群{T(t)}t≥0。对x∈X,ω>ω0,有

等式右边积分在(0,∞)的紧子集上一致收敛。

引理2设A生成Banach空间X上增长界为ω0的指数有界C-正则半群{T(t)}t≥0，对x∈D(A),ω>ω0,有

积分在t∈(0,+∞)的紧子集上一致收敛。

证明根据引理1，因R(λ,A)CA=λR(λ,A)C-C，故对x∈D(A)，由(1)式，有

T(t)Cx-C2x=∫0tT(s)CAxds=

定理1设A生成Banach空间X上增长界为ω0的指数有界C-正则半群{T(t)}t≥0，若

x∈D(Ak+1),ω>ω0,则有

且积分对绝对t>0绝对且一致收敛。

证明先证k=1时定理成立。对x∈D(Ak+1)⊂D(A2)，因

由引理2及(2)式，

从而

利用(3)式，通过分部积分法依次类推，可以得到：

(4)

由(4)式，对任意k∈N,k≥1,

且积分对绝对t>0绝对且一致收敛。

定理1给出的C-正则半群的表示，在形式上是比较工整的。

C-正则半群的范数连续问题，文献[6]已经做了广泛的探讨，受到文献[7]讨论C0半群范数连续的特征条件的启发，下面通过定理1的C-正则半群表示定理，来寻找C-正则半群范数连续的充分条件。

引理3[5]设T为Banach空间上的线性有界算子，X0为X的稠密子集，则线性有界算子T的范数

∫-∞+∞eitτRk+1(ω+iτ,A)C2dτ

对t∈(0,+∞)依算子范数一致收敛(其中k∈N,k≥1)，则T(t)C对t>0范数连续。

令

Z(t)x=∫-∞+∞eitτRk+1(ω+iτ,A)C2xdτ,t∈(-∞,+∞),x∈D(Ak+1)⊂D(A2)

由定理1，当ω>ω0时，此积分关于t>0一致收敛。

根据定理假设，∫-∞+∞eitτRk+1(ω+iτ,A)C2dτ对t∈(0,+∞)依算子范数一致收敛，即∀ε>0，存在a>0,使得

由引理3，可以得到：

即得Z(t)范数连续，从而T(t)C是范数连续的。

参考文献：

[1]Davies E B,Pang M M H,The Cauchy Problem and a Generalization of the Hille-Yosida Theorem,Proc[J]. London Math Soc,1987,55:181-208.

[2]Delaubenfels R. Existence Families,Functional Calculi and Evolution Equations[M].New York Springer-Verlag,1570,1994.

[3]Sun G.Z,Representation Theorem for Mild C-existence Families[J].Northeast Math,1999,15(4)：469-472.

[4]Engel K J,Nagel R,One-parameter Semigroups for Linear Evolution Equations[M]. New York: Graduate Texts Mathematics, Springer-Verlag,2000：219-235.

[5]张连平.最终一致连续半群的条件[J].山西大学学报：自然科学版,1996，19(4):371-375.

[6]李淼,黄发伦.正则半群的范数连续性[J].四川大学学报：自然科学版,2001,38(6):788-792.

[7]张连平.Hilbert空间中最终范数连续半群的特征条件[J].数学学报,2003,46(3):439-444.

[责任编辑：张永军]

中图分类号：O177.2

文献标识码：A

文章编号：1673-162X(2016)01-0020-03

作者简介：段峰(1977—)，男，湖北英山人，铜陵职业技术学院基础教学部讲师，硕士；研究方向:算子半群。

基金项目：安徽省2015年省级质量工程项目“数学建模与高等数学课程教学改革”(2015jyxm516)资助。

收稿日期：2015-10-20修回日期：2015-12-15