吴月龙，陈学友，张耀明

(山东理工大学 理学院，山东 淄博　255091)



弹性边界条件识别反问题的正则化间接边界元法

吴月龙，陈学友，张耀明

(山东理工大学 理学院，山东 淄博255091)

摘要：基于间接变量规则化边界元法，对弹性边界条件识别Cauchy反问题进行了研究。 对于实施过程中出现的线性病态方程组，采用Tikhonov和TSVD两种正则化方法求解，通过广义交叉校验准则法(GCV法)确定正则化参数。 数值算例表明：该算法稳定，数值解与精确解比较吻合。

关键词：间接边界元法；反问题；正则化方法；广义交叉校验准则法

弹性边界条件识别反问题是指通过对象部分表面或内部的相关信息，反演物体边界条件的一类问题。它涉及物理学、数学、实验技术等多个学科领域，在建筑、机械、化工、航天等工程领域中有着广泛的应用。

有限差分法(FDM)和有限元法(FEM)已被应用于反问题的研究中，然而，它们均需在物体内部划分网格，过程繁复，耗费大量计算时间，而且求解精度较差。 边界元法(BEM)由于只需在物体边界划分单元，大大减小了工作难度，提高了计算效率，使其在反问题的研究中更加有效。 已有的反问题研究主要集中在直接变量边界元法。文献[1]将直接边界积分方程结合TSVD法求解各向同性二维弹性力学Cauchy问题，并通过L曲线法选取参数。文献[2]将直接边界积分方程结合预处理共轭梯度法求解二维各向同性弹性力学边界条件识别反问题。本文基于文献[3-4]提出的间接变量规则化边界积分方程，对二维弹性力学边界条件识别反问题进行了研究.

在反问题求解过程中，相应的线性系统通常是严重病态的，直接使用传统的Gauss消去法一般很难获得其有效解，因此采用适当的正则化方法求解是必要的。最常用的正则化方法有Tikhonov法、TSVD法及PCG法(预处理共轭梯度法)[2]。 确定正则化参数的常用方法有L曲线法、GCV法(广义交叉校验准则)及波动曲线法等[5-6]。本文采用Tikhonov和TSVD 2种正则化方法来求解病态线性系统。正则化参数的选取通过GCV法来完成。 数值算例表明：本文算法稳定，数值结果与精确解比较吻合。

1反问题及规则化边界积分方程

1.1二维弹性边界条件识别反问题

设：Ω是R2上的一个有界区域；Γ=∂Ω是其边界；t(x)、n(x)是边界Γ在点x处的单位切、外法向量。Γ由Γ1、Γ2两部分组成，且Γ=Γ1∪Γ2，Γ1,Γ2≠∅，Γ1∩Γ2=∅。

本文考虑子边界Γ1上面力和位移已知、Γ2上面力和位移均未知的边界条件识别反问题，如图1所示。

图1　Cauchy型弹性边界条件识别反问题

1.2规则化边界积分方程

二维弹性问题的等价的规则化间接变量边界积分方程为[3]：

(1)

▽yui(y) =

(2)

特别地

pi(y)=

(3)

其中，位移基本解

(4)

面力基本解

(5)

2正则化方法

2.1奇异值分解(SVD)

对于线性方程组

Ax=b

1288 Research focus of critical care medicine: a study based on Web of Science retrieve and bibliometrics

(6)

其中：A∈Rm×n，x∈Rn，b∈Rm，且m≥n。对矩阵A进行奇异值分解，则有

且

UUT=Im∈Rm×m,VVT=In∈Rn×n,

m≥n,σ1≥…≥σp>0,σp+1=…=σn=0

方程(6)的解可用Moore-Penrose广义逆A+来表示，

(7)

2.2Tikhonov正则化方法(TR)

Tikhonov正则化方法[5]构造了一种依赖于参数α>0的泛函：

(8)

可通过求解该泛函的极小值得到式(8)的一个较好的近似解。显然，对于任意α>0，Jα是严格凸的，因此有唯一的xα满足

此时xα即为Jα的正则解。而xα又是方程

的解，且ATA+α2In对称正定，所以该方程的解唯一，可表示为

2.3截断奇异值分解法(TSVD)

对于方程组(6)、式(7)中x的欧几里得范数可写为

其中rε为满足1

k≤p即为正则化参数，其对应的截断奇异值解为

2.4广义交叉检验准则(GCV)

广义交叉检验准是由Golub.G.H.提出的，其基本思想：假定将任意一个观测值bi从原观测值序列b中删除，则此时由剩余观测值求得的正则化解应能够较好地预测b中被去掉的这一观测值bi。广义交叉检验法可以等效为求解最小GCV函数问题：

3数值算例

计算时，内、外边界分别被等分成20个和40个精确单元，边界量采用不连续线性插值[3]。用Tikhonov和TSVD两种正则化方法求解线性系统，并用GCV法选取正则化参数。图3、4表明：两种方法分别在α=1.0e-06和k=165处达到GCV最小值，因此选取上述参数作为该问题的正则化参数。 图5描述了在选取前述正则参数的情形下，通过两种正则化方法求得的边界位移数值解及与解析解的比较。图6描述了在选取前述正则参数的情形下，通过两种正则化方法求得的边界面力数值解及与解析解的比较。从图5、6可以看出：数值解与解析解比较吻合，表明间接边界积分方程结合正则化方法能够有效地求解二维弹性反问题。

图3　GCV法选取Tikhonov正则化参数

图4　GCV法选取TSVD正则化参数

4结束语

二维弹性问题边界条件反识别问题具有不适定性，求解中涉及的线性系统是高度病态的，因此常规边界元法直接求解此问题时已经失效。本文运用间接规则化边界元方法，结合Tikhonov和TSVD两种正则化措施，通过GCV法确定Tikhonov法的最优参数和TSVD法的最佳截断项，有效地解决了这个问题。通过数值算例验证了该方法的有效性。

参考文献：

[1]周焕林,江伟,胡豪.二维弹性力学边界条件反识别TSVD正则化法[J].合肥工业大学学报(自然科学版),2013,36(9):1076-1081.

[2]周焕林,江伟,胡豪.二维弹性力学边界条件反识别PCG正则化法[J].固体力学学报,2013,33(10):288-293.

[3]张耀明,温卫东,王利民.弹性力学平面问题中一类无奇异边界积分方程[J].力学学报,2004,36(3):311-321.

[4]ZHANG Y M,LIU Z Y,GAO X W,et al.A novel boundary element approach for solving the 2D elasticity problems[J].Applied Mathematics and Computation,2014; 232(3):568-580.

[5]TIKHONOV A N,ARSENIN V Y.Solutions of ill-Posed Problem[M].New York:John Wiley and Sons.1977.

[6]HANSEN P C.Analysis of discrete ill-posed problems by means of the L-curve[J].SIAM Review,1992,34(4):561-580.

(责任编辑陈艳)

Regularized Boundary Element Method with Indirect Unknowns for Inverse Elasticity Problems

WU Yue-long, CHEN Xue-you, ZHANG Yao-ming

(School of Science, Shandong University of Technology, Zibo 255091, China)

Abstract:The elasticity inverse identification boundary conditions Cauchy problem was investigated by using the indirect boundary element method (IBEM). Both the Tikhonov regularization method and the truncated singular value decomposition (TSVD) were applied to solving the ill-conditioned linear system involved in the process of implementation, and the optimal parameter for the Tikhonov and the optimal truncation number for the TSVD were chosen according to the generalized cross validation(GCV) method. A numerical example was given to verify the effectiveness of the proposed scheme, with numerical results being good agreement with the exact solutions.

Key words:indirect boundary element method; inverse problem; regularization method; generalized cross validation method

文章编号：1674-8425(2016)02-0152-05

中图分类号：O343.1

文献标识码：A

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.02.026

作者简介：吴月龙(1991—),男,山东聊城人,硕士研究生,主要从事计算数学研究。

基金项目：山东省自然科学基金资助项目(ZR2010AZ003)

收稿日期：2015-08-28

引用格式：吴月龙，陈学友，张耀明.弹性边界条件识别反问题的正则化间接边界元法[J].重庆理工大学学报(自然科学版)，2016(2):152-156.

Citation format：WU Yue-long, CHEN Xue-you, ZHANG Yao-ming.Regularized Boundary Element Method with Indirect Unknowns for Inverse Elasticity Problems[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(2):152-156.