(1.兰州理工大学 西部土木工程防灾减灾教育部工程研究中心，甘肃 兰州 730050；

2.兰州理工大学 防震减灾研究所，甘肃 兰州 730050)



非平稳地震激励下隔震曲线梁桥振动控制研究①

(1.兰州理工大学 西部土木工程防灾减灾教育部工程研究中心，甘肃 兰州 730050；

2.兰州理工大学 防震减灾研究所，甘肃 兰州 730050)

摘要：曲线梁桥由于其平面不规则性导致结构在地震激励下产生弯扭耦合效应，使得隔震曲线梁桥的地震响应更加复杂。目前常用的控制方法是将隔震技术与附加减震装置相结合对曲线梁桥进行控制。本文将地震动考虑为一均匀调制非平稳随机过程，针对隔震曲线梁桥长周期、低频率的特点，选取Clough-Pension平稳地震动功率谱模型作为随机地震动输入模型，对无控(NON-C)、经典线性最优控制(COC)以及序列最优控制算法(SOC)三种状态下的曲线桥梁进行随机响应分析。通过建立曲线梁桥在随机地震动作用下的运动方程，求出减震控制结构的位移谱密度、加速度谱密度响应及时变方差。分析结果表明：序列最优控制算法(SOC)在使隔震层位移得到减小的同时，可以更有效地控制上部结构的地震响应，具有更好的控制效果。

关键词：曲线梁桥； 最优序列控制； 虚拟激励法； 随机响应

0引言

目前对于曲线梁桥控制动力反应研究较多采用确定性分析方法[1-4]。但是地震动是一个随机过程，导致地震作用下减震结构的动力反应也必然为随机过程，因此采用确定性的地震激励不具有代表性，而采用随机振动理论能更好地反映响应的统计特性，求解得到的结果也更为合理[5]。

经典最优控制算法计算过程需要求解非线性RICCATI方程，而自由度数量太多的有限元模型会给求解带来严重困难。作者针对经典最优控制算法的缺点，借鉴离散系统最优控制的Bellman最优法则，在每一个时间步长上建立目标函数，推导出更为一般的序列最优控制算法(SOC)，并应用于隔震曲线梁桥的控制分析。

本文根据曲线梁桥受力特点，考虑隔震曲线梁桥上部结构刚度中心与质量中心不一致造成的平扭耦合的地震效应，对隔震曲线梁桥建立双质点六自由度控制分析模型。选择Clough-Pension 功率谱密度函数模型，并采用虚拟激励法求解动力方程，通过MATLAB编程对无控(NON-C)、经典线性最优控制(COC)以及序列最优控制算法(SOC)三种状态下曲线桥梁的随机地震响应进行分析。

1隔震曲线梁桥模型的建立

1.1模型假设

首先将隔震曲线梁桥桥墩和上部结构简化为两个模型系统，各具有两个水平x、y自由度和一个围绕质量中心轴扭转θ自由度，堆积质量为m1、m2。桥墩与上部结构为两质点非同轴质量偏心结构的分析模型，上下质点分别表示曲线桥下部结构和上部结构(图1)[6]。

图1　曲线梁桥计算模型简图Fig.1　Computational model of the curved bridge

1.2运动方程的建立

取曲线桥上部结构的质量中心处为坐标原点，曲线梁桥动力方程可表示为：

(1)

(2)

其中：

(3)

式中：m1、m2分别为下部结构和上部结构的质量;J1、J2分别为下部结构和上部结构的转动惯量[7]；ri为回转半径；Xmi、Ymi分别为下部结构和上部结构质心相对于参考轴的坐标;Kxx、Kyy分别为结构在x、y向的平动刚度，取隔震桥梁结构为剪切型;Kxθ、Kyθ分别为结构x、y向的平扭刚度，并考虑上部结构与下部结构质心与刚心的偏心距及上部结构与下部结构质心之间的偏心距;Kθθ为结构的扭转刚度矩阵。

(4)

式中：Kx1、Ky1和Kx2、Ky2分别表示下部结构和上部结构的平移刚度；Kxθ12、Kyθ12分别表示仅m2发生x向、y向单位位移时，在m1所需施加的绕z轴的力矩；Kθθ12表示m1不动，仅m2发生单位转角时，在m1所需施加的绕z轴的力矩;Kxθ11，Kxθ22，Kxθ21，Kyθ11，Kyθ22，Kyθ21，Kθθ11，Kθθ22，Kθθ21表示含义以此类推[8]。

阻尼矩阵[C]采用分区瑞利阻尼模型，阻尼矩阵可分解为

(5)

式中:[Cr]为体现非比例阻尼的余项阻尼矩阵;Cbr=(αb-αs)mb+(βb-βs)kb;[C0]代表经典瑞利阻尼矩阵;αs、βs、αb、βb分别为下部结构和隔震系统的瑞利阻尼比例系数。

(6)

式中：ξs，ξb分别为下部结构和隔震系统的瑞利阻尼比例系数；ωi、ωj为结构的第i,j阶圆频率[9]。

1.3序列最优控制算法

目前时域内结构最优控制算法大多是对问题做了简化的，作者推出的序列最优控制算法吸收了几种常见算法的优点，并对现有算法进行改进，将控制目标函数化解到每个时间步长上，推导出更为一般的最优控制算法，并用状态转移的数值方法加以实现[10-12]。

最优控制力模型可根据作者提出的状态反馈序列最优控制算法，构造双向地震作用下的二次型控制目标函数为

(7)

(8)

式中：下标“∑(j-1)”代表直到第(j-1)个步长上(过去时刻)脉冲影响的总和，将式(8)代入式(7)后，构造Lagrange函数，则原约束优化问题转化为无约束问题。

因为当前时刻的脉冲只影响当前时刻和未来时刻的响应，对过去时刻的响应没有影响，因此把纯粹包含过去时刻脉冲影响的控制目标函数分离开来，引用最优控制理论的泛函极值条件，可得到结构最优控制的一般表达式：

(9)

(10)

式中：tA为当前时刻;式(9)、(10)的定义域为 [tA,tf]。

序列最优控制算法同时包含了每个瞬刻的结构响应和外部地震激励的影响，因此除了数值方法的固有计算误差外，从概念上讲本文算法是精确解。

2曲线梁桥随机地震响应求解

2.1随机地震动模型

均匀调制模型为一个确定性强度包线函数与一个平稳随机过程的乘积，即f(t)=g(t)X(t)。式中g(t)为确定性强度包线函数;X(t)为平稳随机过程。g(t) 采用Jennings提出的一个非平稳强度包线函数的形式：

(11)

式中：t1、t2和c分别表示主震段的首、末时间和衰减函数;T为主震的持续时间[13]。

平稳随机过程X(t)由功率谱唯一确定，本文的研究对象是隔震体系，选用Clough-Penzion建议的表达式，即地震动的单边功率谱可表示为

(12)

(13)

(14)

式中:S0为谱强度因子；ξs、ωg分别为地基土的阻尼比和卓越频率;ξc、ωc两参数的配合可模拟地震动低频能量的变化[14]。

该模型为双过滤白噪声，相当于使白噪声信号经过两个单自由度的线性滤波器，能解决Kanai-Yaijmi模型过分强调低频的缺陷。

2.2虚拟激励法求解

将式(1)转化成状态空间表达式：

(15)

(16)

(17)

3实例计算

3.1工程背景

某立交匝道上一联圆曲线连续梁桥，跨径为3×20 m，曲率半径R为50 m，圆心角θ为69°，主梁采用单箱单室箱梁。为简化分析，采用独柱式圆形桥墩，直径1.5 m，墩高为5 m，桥墩墩底固结，每个墩顶布置圆形铅芯橡胶支座。结构的阻尼比下部结构ξs为0.05，隔震层的水平阻尼比ξb为0.15，上部结构质心处为整体坐标系原点。

每个桥墩位置处切向和径向各设置一组理想智能控制器来连接墩台和主梁，最大阻尼力2 000 kN，如图2所示。采用状态反馈序列最优控算法对结构进行控制，设控制器能够实时提供所需的控制力，且不计时滞和自身动力效应。

图2　曲线梁桥平面Fig.2　Plan of the curved bridge

3.2随机响应分析

取非平稳随机过程强度包线函数参数t1=2.3，t2=16.2，c=0.98，T=20 s。以设防烈度Ⅷ度为例，按照双过滤白噪声模型， 推算“大震”的基岩单边谱强度分别为S0=2×0.024 92 m2/s-3。场地选用Ⅱ类场地土设计，地震分组按第一分组考虑，低频过滤器参数ωg=15.7，ξg=0.72，取ξc=ξg，ωc=0.15ωg，得到的输入地震动加速度的功率谱密度如图3所示[16-17]。

图3　地震动加速度功率谱Fig.3　Seismic acceleration power spectrum

按照上述平稳过滤白噪声激励下的随机状态反应分析的过程描述，用MATLAB进行编程分析，分别求出隔震曲线梁桥在无控和有控状态下的功率谱和均方值。

图4和图5分别为曲线梁桥上部结构在无控(NON-C)、经典线性最优控制(COC)以及序列最优控制算法(SOC)三种状态下位移功率谱密度和加速度功率谱密度的对比图。

由图4、图5可以看出，相同控制能量下，三种状态下位移功率谱密度和加速度功率谱密度峰值均位于曲线梁桥一阶自振频率附近。与无控状态相比，两种控制算法的位移功率谱密度和加速度功率谱密度

图4　上部结构位移功率谱密度Fig.4　The displacement power spectral density of superstructure

图5　上部结构加速度功率谱密度Fig.5　The acceleration power spectral density of　　　 superstructure

峰值都大大降低。序列最优控制算法(SOC)降低x向位移和加速度功率谱峰值的效果更为明显。

图6和图7分别为曲线梁桥上部结构在无控(NON-C)、经典线性最优控制(COC)以及序列最优控制算法(SOC)三种状态下位移和加速度时变方差响应对比图。

图6　上部结构位移时变方差Fig.6The displacement time varying variance of superstructure

图7　上部结构加速度时变方差Fig.7　The acceleration time varying variance of superstructure

由图6、图7可以看出，与无控状态相比，两种控制算法的位移和加速度时变方差响应都有明显的降低。无论位移还是加速度的时变方差响应，序列最优控制算法(SOC)的效果更为明显，尤其在降低上部结构加速度时变方差响应上且有更明显的优势。

4结论

本文对隔震曲线梁桥在无控(NON-C)、经典线性最优控制(COC)以及序列最优控制算法(SOC)三种状态下的随机反应进行了研究。研究结果表明：同无控结构相比，采用控制算法谱密度的响应及时变方差均明显的降低，表明两种算法都有很好的控制效果;在同等控制能量的条件下，序列最优控制算法(SOC)降低结构加速度功率谱响应的效果更为明显，可以同时使上部结构的响应得到更有效的控制。

序列最优控制算法不需要求解Riccati方程，计算量小，没有预先对目标函数引用近似简化，仅有将地震波转化为一系列脉冲和采用状态转移的数值算法的本身误差。因此序列最优控制算法(SOC)从概念上更合理,可以取得更理想的减震效果。

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Vibration Control of Isolated Curved Girder Bridges under Nonstationary Seismic Excitation

LI Xi-mei1,2, DU Yong-feng1,2

(1.WesternEngineeringResearchCenterofDisasterMitigationinCivilEngineering,LanzhouUniv.ofTech.,Lanzhou730050,Gansu,China; 2.InstituteofEarthquakeProtectionandDisasterMitigation,LanzhouUniv.ofTech.,Lanzhou730050,Gansu,China)

Abstract：With the continuous development of structural seismic isolation technology, the use of seismic-isolation-device bridge designs is growing. The combination of isolation and additional damping devices is a commonly used method for controlling curved-beam bridges. Analyses of vibration control for research in the evaluation of seismic dynamic response have primarily focused on deterministic excitation, but deterministic earthquake excitation is not representative. In this study, we consider ground motion to be a uniformly modulated nonstationary random process and investigate long periods of low-frequency characteristics. Moreover, we select the Clough-Pension steady vibration power spectral model as a random vibration input for isolated curved bridges. To address the limitations of the classical optimal control algorithm, we derive vibration control equations using a sequential optimal control (SOC) algorithm. We then analyze the random responses of a curved bridge under three conditions: noncontrol, classical linear optimal control, and SOC algorithm. By establishing a curved beam bridge vibration equation of motion for random actions, we determine the displacement vibration control structure of the spectral density, acceleration spectral density response, and time variance. Analysis results show that the SOC algorithm can reduce the displacement of the isolation layer and more effectively control the seismic response of the upper structure, thus yielding a better control effect. The SOC algorithm has higher control performance and achieves better damping control.

Key words：curved bridges; sequential optimal control; pseudo excitation method; random response

DOI:10.3969/j.issn.1000-0844.2016.01.0103

中图分类号:TU352.1； U441+.3

文献标志码：A

文章编号:1000-0844(2016)01-0103-06

作者简介：李喜梅(1979-)，女，讲师，主要从事桥梁减隔震及振控制研究。E-mail:mei611@163.com。

基金项目：甘肃省青年科技基金计划(148RJYA008)；兰州理工大学建工77基金(TMK-TJ-1001)

收稿日期：①2015-07-17

李喜梅1,2， 杜永峰1,2