一道高考模拟试题的多视角剖析

四川省成都市石室中学(610010)苏文玉

以函数导数为背景，对函数的单调性，函数的零点进行分析，并对零点的分布，零点的大小进行判断、证明的题目在各地的高考试题及模拟题中经常出现，此类题能较好考察学生函数中的分析能力，函数与方程、函数与不等式以及构造函数解决问题的能力.并且此类题目中切入点比较多，思维开阔.例如我校在近期月考中选择题压轴题第12题就是这种情景，下面先看原题及解法.

题目已知x1,x2是函数f(x)=ex-ax的两个零点，且x1

(A)a>e(B)x1+x2>2(C)x1x2>1

(D)函数有极小值点x0,x1+x2<2x0

解法1：数形结合视角.

就选填题来说，先用特殊分析的方式选出正确的选项.

如图1，当y=k与y=xe-x有两个交点时，令k→0，由图知x1+x2>2,B对.同样，从图形可知当k比较小时，x1比较接近0，而x2为一个正数，此时有

图1

x1x2<1，故C错.又易得f(x)的极小值点x0=lna.∵ex1=ax1,ex2=ax2⟹ex1+x2=a2x1x2

评析：解法1利用函数与方程的思想，将函数零点转化为两个函数交点的问题，并利用数形结合，用极限的思想选出了正确答案.作为选填题来说，是比较有效的一种方法，但不具有严谨性.但从数学思考的角度来说，这正是我们平时遇到这类探究型压轴题的思维模式，先利用特殊方法(特殊点、特殊值、图形等)得到正确的结果，再利用严密的数学理论证明结论.体现了“大胆假设、小心求证”的思维模式,下面就从多个角度来证明x1+x2>2和x1x2<1这两个结论.

解法2：消元视角一.

评析：本解法从消元的角度，消掉元a，得到一个关于x1,x2的多元不等式证明，利用换元的思想，将多元不等式证明变为了单元不等式，并……