赵幸幸,张靖华

(兰州理工大学 理学院,甘肃 兰州　730050)



热冲击下Euler-Bernoulli梁的动力屈曲

赵幸幸,张靖华

(兰州理工大学 理学院,甘肃 兰州730050)

摘要基于Euler-Bernoulli梁理论,在Hamilton体系中研究了一端固定一端不可移简支梁在热冲击载荷作用下的动态屈曲。在辛空间中,将梁的屈曲问题归结为系统的零本征值问题,而梁的屈曲模态对应Hamilton体系的辛本征解,求解得到了Euler-Bernoulli梁在横向热冲击下发生屈曲的临界载荷与屈曲模态,并分析了结构几何参数和热冲击载荷参数对临界升温的影响。结果表明:梁的长细比和载荷作用时间都对屈曲升温有较大影响,但载荷参数a对梁的屈曲升温影响很小。

关键词Euler-Bernoulli梁;Hamilton体系;动力屈曲;临界载荷

梁作为工程中广泛使用的结构元件,它的热弹性稳定性具有诸多实际工程背景,例如热输送管道、火车路轨、海底输油管道、刚性和半刚性路面、光纤光缆等结构,如果其面内位移被限制,都将会因升温而产生超出原直线平衡状态的热弹性失稳。另外,在利用智能材料对结构变形和振动实行智能控制时,热弹性稳定性的概念和相关分析也十分必要[1-4]。

目前,大多关于梁的屈曲或过屈曲的研究仅限于静态问题[1,2,5-8]。Vaz等[5]研究了一端不可移简支另一端横向简支轴向有弹性约束梁的热过屈曲问题。Coffin等[6]在精确考虑轴线伸长的情况下,给出了两端不可移简支弹性杆湿热过屈曲问题的椭圆积分形式解。Sapountzakis等[7]用边界元方法分析了复合材料经典梁的屈曲问题,并讨论了边界条件对屈曲载荷的影响。刘松华等[8]利用解析法和有限单元法,研究两端简支工字型变截面梁的整体稳定性。然而,梁的动力屈曲的研究成果相比静态屈曲要少得多。陈国胜等[9]针对含初始缺陷和脱层损伤的复合材料层合梁的轴向冲击动力屈曲问题进行了分析。

以上研究都采用了传统的弹性力学求解方法,对于静态热屈曲问题容易实现。但对于热冲击屈曲问题,由于需要考虑结构的动态特性、载荷与时间特性等重要影响因素,若仍采用传统方法,求解难度大。研究将Hamilton体系及辛方法[10]引入梁的热冲击屈曲问题中,求得临界载荷和屈曲模态并分析其影响因素。

1基本方程

,

(1)

其中:εx和κ分别为梁轴线上各点的应变和曲率,表示为

。

(2)

考虑线性热弹性梁,则梁的轴向应力σx表示为

,

(3)

为温度的变化,简称升温(单位:K);t为时间(单位:s)。将式(1)和式(2)代入式(3),可以得到轴向应力σx的表达式为

。

(4)

一端固定一端不可移简支梁的边界条件为

(5)

在梁的变形中,弯曲变形在变形能中起主导作用,则表示能量的Lagrange函数采用式(1)~式(4)可写为

(6)

其中:T和∏分别表示系统的动能和势能;D=EI为梁的弯曲刚度;I为惯性矩;NT为热轴力,定义为

NT=EAαT。

(7)

(8)

其中:δ表示变分;对偶变量p代表系统的动量。

将方程(6)和式(8)代入可得系统的Hamilton函数H为

(9)

Hamilton体系下的对偶正则方程为

(10)

将方程(8)和式(9)代入对偶正则方程(10)可得

(11)

同时,将边界条件(5)转换为Hamilton体系下梁的端部边界条件:

(12)

(13)

T(z,0)=0,T(-h/2,t)=ΔT·f(t),

(14)

(15)

具体计算时考虑指数函数型的突加升温载荷,即f(t)=1-e-at,其中a为载荷参数。采用Laplace变换,可以将方程(13)和初边值条件转换为拉氏域中的常微分方程,其利用级数解法求解。然后再进行Laplace反变换可得时间域内的动态温度场,将其代入式(7),可得含有参数ΔT的热轴力。我们在求解中首先按照分叉条件求得临界热轴力,然后由已知的热轴力反解得热载荷幅值ΔT。

2正则方程的求解

先进行无量纲化,选取以下无量纲量

(16)

在Hamilton体系下,零本征值本征解满足

(17)

将方程(11)代入方程(17),化简并进行无量纲化,得到无量纲形式的正则方程

(18)

方程(18)为线性齐次方程,其通解为

(19)

(20)

分析方程(20)可知:若只有零解时,说明梁只有均匀压缩,不发生屈曲；反之梁发生屈曲的条件就是有非零解,此时系数行列式为零:

(21)

化简式(21)可得分叉条件,表示为

(22)

为了求得屈曲模态,采用归一化方法,令C4=1,由方程(20)可解得

然后将系数C1、C2、C3和C4代入方程(19)中,可以得到梁的第n阶屈曲模态

(23)

3数值结果与讨论

3.1屈曲模态

由梁屈曲的分叉条件式(22),采用Newton-Raphson法求解可得无量纲特征值:

θ1=20.19,θ2=59.67,θ3=118.90,

θ4=197.85,θ5=296.55,…

将所得无量纲特征值θn,依次代入式(23)可得屈曲模态。在热冲击作用下,梁的前四阶热冲击屈曲模态如图1~图4所示。由图1~图4可见,梁的屈曲特征值不同时所对应的屈曲模态不同,且随着无量纲特征值的增大对应的屈曲模态的阶数在增高。由此可知,在不同的热冲击载荷作用下,梁的失稳变形形态是不同的。梁的临界屈曲升温不同时,对应着一阶屈曲模态也就是临界屈曲模态。

图1　第一阶屈曲模态Fig.1　First-order buckling mode

图2　第二阶屈曲模态Fig.2　Second-order buckling mode

图3　第三阶屈曲模态Fig.3 Third order buckling mode

图4　第四阶屈曲模态Fig.4　Fourth order buckling mode

3.2屈曲升温载荷

研究以铜质梁作为算例来讨论。材料的物性参数见表1。若无特别说明,梁的几何尺寸给定为h=1cm,l=40cm；热冲击载荷参数为a=10,作用时间Δt=5s,换热系数hr=100。表2列出了梁在受热冲击时的前三阶屈曲升温。由表2可见,随着Euler-Bernoulli梁的屈曲模态阶数的增高,屈曲升温载荷显著增大。表3~表7分别给出了长细比λ变化时梁的屈曲临界升温ΔTcr、载荷参数a变化时梁的屈曲临界升温ΔTcr、冲击时间t变化时梁的临界屈曲升温ΔTcr、长细比λ变化时梁的第二阶屈曲升温ΔT、冲击时间t变化时梁的第二阶屈曲升温ΔT。

表1　金属材料Cu的物性参数

表2　梁的前三阶屈曲升温ΔT

表3　长细比λ变化时梁的屈曲临界升温ΔTcr

表4　载荷参数a变化时梁的屈曲临界升温ΔTcr

表5　冲击时间t变化时梁的临界屈曲升温ΔTcr

为了分析结构几何参数和热冲击载荷参数对临界升温的影响,表3~表5列出了不同参数变化时屈曲临界升温载荷。由表3可知,随着梁的长细比λ的增大,梁的弯曲刚度减小,受热冲击时临界屈曲升温载荷明显减小。由表4可知,随着载荷参数a值的增大,屈曲临界升温载荷缓慢减小。当参数a<5时,其值增大对屈曲临界升温稍有影响；参数a>5时,其变化对屈曲临界升温基本无影响。由表5可知,随着载荷作用时间的增加,梁的屈曲临界升温减小。t<5时,屈曲临界升温随热冲击作用时间的延长而急剧减小;t>5时变化不大,最终随作用时间的增大而趋于一固定值。由表6和表7可知,结构参数和几何参数变化时对梁的二阶屈曲升温的影响与cf 屈曲临界升温的影响基本一致。

表6　长细比λ变化时梁的第二阶屈曲升温ΔT

表7　冲击时间t变化时梁的第二阶屈曲升温ΔT

4结论

研究了热冲击载荷作用下Euler-Bernoulli梁的动力屈曲特性。将问题归结为Hamilton体系下的零本征值问题,在辛空间中建立正则方程,解析求解得到屈曲模态和分叉条件。由分叉条件求得临界热轴力后,反解得到Euler-Bernoulli梁的屈曲温度。结果表明:

(1)采用Hamilton体系下的辛方法可有效求解梁的冲击屈曲问题,绕开了经典弹性力学解偏微分方程的瓶颈;

(2)梁的长细比和载荷作用时间都对临界屈曲升温和二阶屈曲升温有较大影响,但载荷参数a对梁的临界屈曲升温和二阶屈曲升温影响很小。

参考文献:

[1]Choi S,Lee J J,Lee,D C.Thermal Buckling of Laminated Composite Beams with Embedded Shape Memory Alloy Actuators[J].Journal of Composite Materials,2000,34(18):1 529-1 547.

[2]李世荣,陈昌钧.加热弹性杆的热过屈曲分析[J].应用数学和力学,2000,21(2):12-18.

[3]Zhou Y H.An Analysis of Pressure-frequency Characteristic of Vibrating-type Pressure Sensors[J].International Journal of Solids and Structures,2001,38:7 101-7 111.

[4]何天虎,井绪明,曹丽.弹性模量受温度影响有限长杆的广义热弹耦合问题[J].甘肃科学学报,2009,21(1):19-23.

[5]Vaz M A,Solano R F.Thermal Postbuckling of Slender Elastic Rods with Hinged Ends Constrained by a Linear Spring[J].Journal of Thermal Stresses,2004,27:367-380.

[6]Coffin D W,Bloom F.Elastic a Solution for the Hydrothermal Buckling of a Beam[J].International Journal of Non-Linear Mechanics,1999,34:935-947.

[7]Sapountzakis E J,Tsiatas G C.Elastic Exural Buckling Analysis of Composite Beams of Variable Cross Section by Bem[J].Engineering Structures,2007,29:675-681.

[8]刘松华,冯哲.变截面梁的整体稳定性研究[J].钢结构,2009,24(10):20-23.

[9]陈国胜,唐文勇,张圣坤.含脱层损伤复合材料层合梁的冲击动力屈曲[J].计算力学学报,2007,24(4):486-493.

[10]Sun J B,Xu X S,Lim C W.Buckling of Functionally Graded Cylindrical Shells under Combined Thermal and Compressive Loads[J].Journal of Thermal Stresses,2014,37(3):340-362.

Dynamic Buckling of Euler-Bernoulli Beam under Thermal Shock

Zhao Xingxing,Zhang Jinghua

(SchoolofScience,LanzhouUniversityofTechnology,Lanzhou730050,China)

AbstractThe dynamic buckling of the beam with simply supported end under the action of thermal shock load was researched in the Hamilton system based on the Euler-Bernoulli beam,wherein one end of the beam with simply supported end was fixed,and the other end of the same was immovable.The buckling problem of the beam was boiled down to the problem of zero eigenvalue of the system in the symplectic space,while the buckling modal of the beam was corresponding to symplectic eigensolution of the Hamilton system;and the critical load and the buckling modal of buckling of the Euler-Bernoulli beam generated under the transverse thermal shock were acquired by means of solving.Further,the influence of the structural geometrical parameters and the parameters of the thermal shock load to the critical heating was analyzed and discussed at the same time.Moreover,the analysis showed that ratio of slenderness of the beam and the acting time of the load influenced heating of buckling greatly;however,load parameter had small impact on heating of buckling of the beam.

Key wordsEuler-Bernoulli girder;Hamilton system;Dnamic buckling;Critical load

中图分类号:O347

文献标志码:A

文章编号:1004-0366(2016)01-0016-05

作者简介:赵幸幸(1990-),男,山西霍州人,硕士研究生,研究方向为新型材料与结构的力学行为.E-mail:zhaoxx0810@126.com.

基金项目:国家自然科学基金项目(11262010).

收稿日期:2015-03-23;修回日期:2015-06-17.

doi:10.16468/j.cnki.issn1004-0366.2016.01.004.

引用格式:Zhao Xingxing,Zhang Jinghua.Dynamic Buckling of Euler-Bernoulli Beam under Thermal Shock[J].Journal of Gansu Sciences,2016,28(1):16-20.[赵幸幸,张靖华.热冲击下Euler-Bernoulli梁的动力屈曲[J].甘肃科学学报,2016,28(1):16-20.]