吕 锴

(东华大学 理学院， 上海 201620)

半空间上MHD方程弱解的衰减下界

吕 锴

(东华大学 理学院， 上海 201620)

研究了磁流体力学(MHD)方程的弱解在半空间+上的衰减性质，通过建立一族产生弱衰减的初值， 得到了MHD方程的衰减下界.

磁流体力学(MHD)方程； 半空间； 衰减下界

磁流体力学(MHD)方程的一般形式为

(1)

对于方程(1)的Cauchy问题，文献[1]构造了一类类似于Navier-Stokes方程的Leray-Hopf弱解的整体弱解.在全空间n上方程(1)的Cauchy问题的衰减性质的研究上，已有不少研究成果.文献[2-3]在文献 [4]的基础上研究了强解的衰减性质.而对于弱解的衰减性质的研究，可以参见文献[5-7].然而上述针对全空间n问题的结论，大多使用Fourier变换法，并不适用于半空间+∶={x=(x1，x2， …，xn)∈n；xn>0}问题.对于半空间上的MHD方程，文献[8]研究了弱解的L2衰减.文献[9]证明了当半空间上的Navier-Stokes方程(N-S)的初值在满足一定条件的情况下，可以得到N-S弱解的衰减下界的估计.本文在文献[9]研究成果的基础上，得到了半空间+上的MHD方程的相关结论.

(2)

1 主要结论

在介绍本文的主要结论之前，首先给出一些符号的定义.

简便起见，将Ar简写为A.

下面给出方程(2)弱解的定义[10].

定义1.1 若(u，B)满足以下条件：

-(u(t)， φ(t))+(u(s)， φ(s))

-(B(t)， φ(t))+(B(s)， φ(s))，

(3)

(iii) 能量不等式

(4)

则称(u，B)为方程(2)在上的弱解.

其中：m≥0， α， γ， δ>0.

假设 考虑满足以下条件的初值：

(A2)a′(x′，xn)=(a1(x′)η1(xn)， (a2(x′)η1(xn)， …，an-1(x′)η1(xn))∶=a″(x′)η1(xn)和b′(x′，xn)=(b1(x′)η2(xn)， (b2(x′)η2(xn)， …，bn-1(x′)η2(xn))∶=b″(x′)η2(xn)，其中ηi∈L2(且满足对几乎所有的，都有，这里的表示ηi相对于xn的奇延拓，即

定理1.1 若n≥3，a，b∈Lr((满足假设(A1)～(A3)，且r和m满足(i)或(ii)：

则存在T>1及常数C>0，使得当t≥T时，方程(2)的任意弱解(u，B)都有

(5)

定理1.1为本文主要结论.

2 Stoke方程及热方程解的衰减

(6)

其中：q需满足1

(7)

其中：C=C(n， m， α， γ， δ)>0.

定理2.1[9]若n≥3，a满足假设(A1)～(A3)，则当t≥1时，有

(8)

其中……