蓝丽红，金玲玉*

（华南农业大学数学系，广东广州510642）



原子费米气体附近BCS-BEC过渡区Ginzburg-Landau方程组稳态解的存在性

蓝丽红，金玲玉*

（华南农业大学数学系，广东广州510642）

摘要：研究了费米-玻色模型中Feshbach共振附近费米原子气体超流中所呈现的依赖于时间的Ginzburg- Landau （TDGL）方程组，并得到了该方程组在一定条件下稳态解的存在性及正则性。

关键词：稳态解；Ginzburg- Landau方程；山路引理

BCS- BEC过渡现象最早被发现于1992年［1-2］，众多学者对原子费米气体超流中所呈现的BCS- BEC过渡现象进行了研究［3-6］。另外，Ginzburg- Landau理论在原子费米气体超流的研究史上扮演了重要的角色，这是由于它能够捕获超流体在宏观上［7-8］所能呈现出来的几乎所有特征。在文献［6］中，M. Machida等建立了在费米-玻色模型中Feshbach共振附近费米原子气体超流中所呈现的依赖于时间的Ginzburg- Landau方程模型如下

首先给出一些符号和预备知识。令Hr1（RN），LrP（RN）为径向对称函数的Sobolev空间。记C和c为任意的正常数。将方程（2）两边同乘以- dg，并加上方程（1）得

记W=覫+gφ，则方程组（2）、（3）等价于

对方程（4）、（5），考虑其稳态解（驻波解）。令

则u，v满足

记

则方程（6）、（7）可简化为

对任意λ2＞0，u∈Hr1（R3），方程（9）的解可表示为

其中gλ2

(3)为算子-△+λ2的基本解。方程组（8）、（9）的弱解

可转化为

的弱解，其中α=a1a2。

主要结果如下：

定理1假定λ1＞0，λ2＞0，β＞0，存在一个常数λ*＞0，使得α∈（-∞，λ*），则问题（11）有一个解，即问题（1）、（2）有稳态解。

定理2令u∈H1（RN）是方程（11）的解，则u∈C2，v（RN），其中0＜v＜1。

1方程组（1）、（2）稳态解的存在性

定义函数Iα：Hr1（R3）→R

由于Iα函数在临界点的值就是方程（11）的弱解。下面先给出函数Iα的一些性质。由方程（9），对任意λ2＞0有

利用Holder不等式可知

由式（13）、（14）可得

其中C为正常数。

引理1假……