几何概型的考查视角

◇山东刘淑霞

1) 试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;

2) 每个基本事件出现的可能性相等．

几何概型与古典概型的区别:要判断是古典概型还是几何概型,关键是分清这2种概型的异同点．

不同点:古典概型要求基本事件有限,几何概型要求基本事件无限．

相同点:古典概型和几何概型的每个基本事件出现的可能性相等．

下面对几何概型问题在高考中的考查视角举例分析．

1定积分视角

图1

例1(2014年辽宁卷) 如图1所示，正方形的4个顶点A(-1,-1)、B(1,-1)、C(1,1)、D(-1,1)分别在抛物线y=-x2和y=x2上,若将1个质点随机投入正方形ABCD中,则质点落在图中阴影区域的概率是________.

因为A(-1,-1)、B(1,-1)、C(1,1)、D(-1,1),所以正方体ABCD的面积S=2×2=4.根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积

定积分的几何意义是求曲边梯形的面积,因此将其与几何概型交会考查便顺理成章了．

2函数视角

图2

A1/6;B1/4;C3/8;D1/2

由已知得B(1,0)、C(1,2)、D(-2,2)、F(0,1),则矩形ABCD面积为3×2=6,阴影部分面积为1/2×3×1=3/2,故该点取自阴影部分的概率等于(3/2)/6=1/4．故选项为B.

本题是以函数为背景、面积为度量的几何概型问题,重点考查了转化思想和数形结合等思想.

3线性规划视角

例3(2015年湖北) 在区间[0,1]上随机取2个数x、y,记p1为事件“x+y≥1/2”的概率,p2为事件“|x-y|≤1/2”的概率,p3为事件“xy≤1/2”的概率,则().

Ap1

Cp3

因为x、y∈[0,1],对事件“x+y≥1/2”,如图3阴影部分S1.对事件“|x-y|≤1/2”,如图4阴影部分S2.对为事件“xy≤1/2”,如图5阴影部分S3.

图3　　　　　　图4　　　　　　图5

由图易知,阴影部分的面积从小到大依次是S2

对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识,它只与大小有关,而与形状和位置无……