孙转转, 宋儒瑛

(太原师范学院 数学系, 山西 晋中 030619)

L1范数下有噪信号恢复的误差估计

孙转转, 宋儒瑛

(太原师范学院 数学系, 山西 晋中 030619)

在压缩感知有噪信号恢复的研究中,引入新范数,获得L1范数最小化恢复的误差估计.结论只依赖于噪声本身,改进了压缩感知中已有的误差估计.

信号;范数;误差

0 引 言

随着压缩感知领域的发展, 通过L1范数最小化恢复稀疏信号的理论及算法的研究已成为处理信号的热门课题.压缩感知[1-3]理论表明，当信号在某变换域是稀疏或可压缩时,采用线性低维投影来保留重构高维稀疏信号所需的信息,求解稀疏最优化问题，就能从低维投影向量高概率精确地重构原始信号.

具体数学模型如下:假设稀疏信号x∈Rn,测量矩阵Φ∈Rm×n,且,m≪n，那么有欠定方程组，

y=Φx∈Rm

恢复原始稀疏信号x的译码记作Δ,数学模型为，

通常,假定常数k≤m表示稀疏信号x的稀疏度.∑k表示所有k阶稀疏信号.显然最理想的信号恢复是,对于所有x∈∑k,测量矩阵Φ满足一定条件时,有，Δ(Φx)=x.

Candes等[4-5]认为，当测量矩阵满足RIP条件时,原始稀疏信号可以从低维投影中被高概率恢复，即如果矩阵Φ满足如下不等式，

其中，常数0<δ<1.

则称Φ满足RIP(k,δ)条件.

但测量信号在具体恢复过程中可能带有噪声,对信号重构过程产生扰动,而总希望得到的信号能很好地逼近原始信号.因此,利用L1范数最小化恢复时考虑重构信号与原始信号之间的误差是必要的.

首先,L1范数最小化恢复[5-6]的数学模型为:

1)测量信号无噪声干扰时……