□ 李 昕

第二十一届国际天文奥林匹克竞赛理论试题详解

□ 李 昕

本届国际天文奥林匹克竞赛的理论环节高、低年组各5道题，每题8分，总分40分。同学们完全可以不按试卷上给的题号顺序答题，建议通读一遍题目后，挑选容易有思路的题目开始作答。

α-1火星卫星

首先，如题意要在火星的人造卫星上看到与地球情况相同的日食，就是要让卫星与火星所处的距离恰好能使火星与太阳的角直径相同。设卫星与火星距离为A，火星与太阳距离为L，太阳和火星的直径分别为D和d。为使角直径相同需满足：d/A=D/(L+A)，查表代入已知数据可解得A≈1.11×108km。

有的同学认为到这里本题已经作答完毕，实际上这里的分值只有1分。本题的关键是要讨论是否会有距离火星如此远的卫星。为此我们计算火星的第二拉格朗日点位置，卫星如果比L2点还远，火星的引力就将无法束缚它。设其距离火星Λ，有GMS/(L+Λ)2+GMM/Λ2=ω2(L+Λ)，其中MS和MM分别为太阳和火星质量，ω为卫星角速度，同时也是火星公转角速度；上式解起来比较复杂，尤其是对低年组的同学，但我们可以将其化繁为简。由于有MS＞＞MM，L＞＞Λ，因此GMS/L2=ω2L，ω2=GMS/L3，再代入原式即有：MS/(L+Λ)2+MM/Λ2=MS(L+Λ) /L3；Λ=L×(MM/3MS)1/3=1.08×108km。

可见A＞Λ，因此卫星已经超过了火星L2点，不能再作为它的卫星，这种情况也就不可能成立。最后不要忘记用英文写上：impossible situation，此题才能得到满分。

β-1戴森球

我们都知道行星绕中心恒星的公转周期仅与中心恒星的质量和轨道半径有关。即t=2π/ω，ω2R=GM/R2。

题目中说行星就是在参宿四表面上运行，因此这里面的R即是轨道半径，又是恒星的半径，这道题的重点就是求参宿四的半径。……