聂庭勇（新疆五家渠高级中学）



从零向量性质的质疑到探究

聂庭勇
（新疆五家渠高级中学）

一、问题背景

平面向量是教材改革的新增内容之一，并在高中数学学习中突显了它的重要地位。近年来，关于向量共线的考查，成为向量概念应用的一个深入。关于向量的概念，只有两个要素，一是大小，二是方向。但在向量这一章，有一个很关键的元素——零向量，值得注意。笔者在教学实践中，发现对于一些有关零向量的命题，学生总是把握不准，心存疑惑，甚至提出质疑。例如，思考下面两个问题：

问题一：设b是a的相反向量，则下列说法错误的是 （）

A.a与b的长度必相等

B.a∥b

C.a与b一定不相等

D.a是b的相反向量

答案选C（当a=b=0时）。

问题二：已知下列命题：

①若a=b，b=c，则a=c；

②若a∥b，b∥c，则a∥c；

③若a=b，则a∥b；

④若a∥b，则a与b的方向相同或相反

其中正确命题的序号是①③。

分析：利用平行向量的定义判定时，还需注意零向量与任意向量平行这一特殊情形。

对于①，当a=b≠0时，由相等向量定义知，a与b同向，同理，b与c同向，从而a与c同向，又它们的模相等，所以a=c；当a=b=0时，由b=c推出c=0，所以a=c，故恒有a=c。

对于②，当b=0时，a与c是非零向量，且a与c方向不是相同或相反时，条件成立，但结论不成立。

对于③，由①的结论知其成立。

对于④，a∥b，若a=0时，与b是平行向量，但零向量方向任意，命题不成立。

通过教学的效果来看，部分学生听完讲解后，还是没有真正理解解决问题的关键，总感觉对于零向量这个特殊向量的辨析有些牵强，有的同学甚至提出质疑，“零向量的方向是任意的，可以随意指定它的方向，想它是什么方向它就应该是什么方向。”所以，为了彻底消除顾虑，我与他们在课余做了一次探究。

二、探究过程

“教材在讲述平行向量的定义时，明确指出：零向量的方向是任意的，它与任意向量平行。”对于这一规定性定义的解读，我们认为：零向量的方向具有不确定性，它与非零向量共线是由它的特殊性决定的，不能指定它与已知非零向量同向或反向，那样的话，就人为地给零向量施加了限定性条件，违背了规定性定义的本源。

以举例中的一个命题为例：

向量a与b共线，则a与b的方向相同或相反。判断该命题的真假。

甲生：真命题。若a≠0，b≠0，显然成立；若a=0，b≠0，零向量方向任意，可以指定它与b同向或反向。

乙生：假命题。零向量的方向是任意的，我们可以随意去理解它的方向，所以与b不一定是同向或反向。

看到自己的学生能够大胆质疑，说明他们已经研究到了问题的本质，但是针对这样的特殊问题，如何准确抓住性质的本源，引导学生跳出泥淖呢？

师：仍然要立足于教材，“我们规定，零向量与任意向量平行”，这是由它的方向任意这一特殊性而定的，不能根据解题需要而指定它的方向，如果一味强调个人指定的话，甚至可以指定说，零向量与已知非零向量垂直，连共线也不成立了，这不就等于违反教材所给的定义了吗？

所以，不能指定零向量的方向与谁相同或者相反。只能维持原判“零向量的方向是任意的，它与任意向量共线”，谁也不能指定它的方向。

同学们豁然开朗，然后我给出了一道高考题，让学生去考证所思。

例：给出下列命题：

①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反。

④如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a，b之一的方向相同。

其中成立的是：

A.①②B.③④C.①④D.②③

分析：①中，当a=0时命题不成立。④中当a+b=0时命题不成立，故正确答案选D。

三、归纳与反思

从一个有争议的命题的质疑开始，师生经历了分析查证、合作探索、形成认知的整个过程，让学生由被动听取转变为自主探究，发展了他们的深入理解、迁移推广的能力，更能激发学生的联想思维、兴趣和好奇心，这样的素材在学习和作业中处处存在，老师善于提问，学生勤于质疑，这样的教与学的方式才符合了新课程改革的基本要求和理念，也是本文的一个出发点。

·编辑董慧红