程家曦，倪书进，徐四六*

(1.湖北科技学院 电子与信息工程学院，湖北 咸宁 437100；2.咸宁实验中小学，湖北 咸宁 437100 )

PT对称晶格势中的光孤子传输特性的研究

程家曦1，倪书进2，徐四六1*

(1.湖北科技学院 电子与信息工程学院，湖北 咸宁 437100；2.咸宁实验中小学，湖北 咸宁 437100 )

利用改进的平方算符法和傅里叶配点法以及分步傅里叶算法研究了二维非线性PT对称晶格势中的基极和二级光孤子。研究表明，两种孤子功率都随着传播常数的增加而增大，随着调制深度的增加而减小。二极孤子内部的排斥力作用导致光束在PT势中分裂成四极孤子。而对于PT 晶格势，当实部的晶格调制系数V0增大时，PT势的相对强度的带隙结构发生变化，PT强度呈波浪式增大，而孤子在低能量区域是稳定的，高能量区域不稳定。

改进的平方算符法；分步傅里叶算法；多极光孤子；PT对称势

孤子又是一种特殊的超短脉冲，孤立波是一种在传播过程中保持形状、速度、幅度不变的脉冲状行波[1]。鉴于孤子具有的这些特性，孤子系统在现实世界有着广泛的应用潜力[2]。因此，孤子的形成及其传输特性的研究在目前是一个十分诱人的课题。

近年来, PT对称晶格介质中的空间孤子一直是研究的热点,人们对它们的各种独特的性质例如相互作用、稳定性进行了大量研究[3-5]。 PT对称即哈密顿量宇称-时间对称，在量子力学中，哈密顿量是要对所有物理可观察量都必须是厄米共轭[6]。1998年，C.M.Bender提出了一个非厄米-哈密顿量，即PT对称哈密顿量，它可以完全展现出实谱，要满足PT对称性的要求，则该哈密顿量要与算子共有一系列相同的本征值[7]。则势函数,即PT对称势的实部必须是偶函数,虚部必须是奇函数。当超过某一阈值时，这种哈密顿量会发生相变，这时的本征值谱不再全为实数，而是变成部分为复数[8]。由于首次引入PT对称势的概念 ，自此，线性与非线性系统中的PT对称哈密顿量相关的物理现象被广泛关注。光在PT对称哈密顿量介质中具有独特的传输特性，2008年，Z.H.Musslimani等人对一维和二维PT周期晶格中的光孤子传输特性做出了跨越性的研究[9]，使得该领域又迎来了新的研究热潮。最近几年，PT对称晶格中的非局域带隙孤子[10]，涡旋多峰孤子[11,12]等；尽管如此，对PT对称光空间中光孤子的传输特性研究仍有待深入，还有很多孤子类型与特殊的性质等着我们去发现。

本文基于二维非局域非线性薛定谔方程, 在前期研究[13-26]的基础上，通过数值模拟得到非局域暗孤子解, 然后提出了暗孤子稳定性分析理论, 并对其数值求解得到了非局域暗孤子的稳定性分析图, 最后利用加噪声的传输验证了稳定性分析理论的正确。

一、理论模型

光束在(2+1)维PT对称晶格势非线性介质中沿着z轴传播，那么归一化的非线性薛定谔方程

(1)

其中，φ为包络函数，T是调制深度，V(x,y),W(x,y)分别为PT对称晶格势的实部和虚部,其非线性项为三五次竞争。

假设方程(1)中孤子解的形式为φ=f(x,y)eiμz，μ为传播常数，模f(x,y)满足该方程

(2)

求解孤子，我们利用平方算符法对(2)进行数值求解，而对于所得到的孤子稳定性，我们对方程(1)采用微扰解进行稳定性分析

φ=eiμz{f(x,y)+[g(x,y)-h(x,y)]eλz+

[g(x,y)+h(x,y)]*eλ*z}

(3)

将上式代入到式(1)并对g(x,y),h(x,y)进行线性化，得到他们的本征方程为：

(4)

其中，

(5)

我们利用傅里叶配点法[22]对孤子进行稳定性求解，若本征值的实部为零，则孤子线性稳定，反之，线性不稳定。孤子的总功率P=∫-∞+∞∫-∞+∞|f(x,y)|2dxdy。

求解非线性方程的解析解的条件是满足可积，但是在一般情况下可积性条件是不满足的，为了探究方程(1)的孤子解，我们将使用改进的平方算符法求得其数值解，即近似解。在此，选用高斯光为入射光，取PT晶格为双曲-三角对称晶格势

V(x,y)=V0(sech2(x)+sech2(y))(cos(-x2)+cos(-y2))

(6a)

W(x,y)=W0(tanh(2x)+tanh(2y))(cos(-x2)+cos(-y2))

(6b)

为了便于讨论，取PT势的实部强度V0=1。虚部强度W0=0.1。PT势的分布如图1所示，可以看到其实部V 关于原点偶对称，虚部W关于原点奇对称。PT势强度随着调制参数V0、W0的增大而波浪式增大。

图1 PT势分布(a)(b)(c)为PT势实部分布；(d)(e)(f)为PT势虚部分布；(g)为PT势实部调制参数V0与PT势的关系分布；(h)为PT势虚部调制参数W0与PT势的关系分布；(i)为PT晶格势函数系数对PT势强度影响的关系图；

二、基极孤子

首先对方程(1)进行求解得到基极孤子，图2(a)为μ与P的关系图，可以看出功率P随着μ的增加而增加，图中实线表示稳定区域,虚线表示不稳定区域。图2(b)是T与功率P的关系，随着T的增加P减小，当μ增加时P随着T减小的速度变缓。图2(c)是μ与微扰实部Re(λ)之间的关系，当实部>0时，对应的基极孤子不稳定。孤子在光晶格传输有一个存在区域与稳定区域，调制深度与传播常数μ的存在阈值μ1稳定阈值μ2是一一对应的，基极孤子存在时传播常数μ>μ1(图2(a))，而在稳定时μ>μ2(图2(c))，所以基极孤子的稳定区域是δ(μ)=μ2-μ1，图2(d)，2(e)，2(f)分别为T与μ1，μ2，δ(u)之间的关系。可以看出基极孤子在调制深度T≥0时存在(图2(d))，且随着T的增大，μ1和μ2均增加，而稳定区域δ(μ)先增大后减小，在T=7时稳定区域最小。

图2 (a)传播常数μ与功率P的关系；(b) 调制深度T与P的关系；(c)传播常数 μ与微扰增长率实部Re(λ)的关系；(d)调制深度T与传播常数存在阈值μ1的关系；(e)调制深度T与传播常数稳定阈值μ2的关系；(f)调制深度T与稳定区域δ(μ)的关系。

图3(a)、(b)、(c)表示不同调制深度T和传播常数μ时基极孤子的强度分布，图3(a)、(b)、(c)分别对应图2(a)功率曲线中所标出的三个点。当T=2，μ增加时，图3(a)中孤子的光强小于图3(b)；当μ=10，T增加时，图3(b)中孤子的光强大于3(c)。图3(d)、(e)、(f)是对应孤子实部的光场分布，图3(g)、(h)、(i)为孤子的虚部分布。可见光场实部关于原点偶对称，而虚部关于原点奇对称，基极孤子与PT势的对称相关。图3(j)、(k)、(l)是对应孤子的稳定性光谱，由于孤子图3(d)的光谱仅仅包含虚部本征值，因此这个是孤子稳定的；而孤子图3(a)、(b)的光谱包含两对复数和两对实数本征值，所以此孤子不稳定。对应图2(a)孤子的稳定区域。

三、二极孤子

我们再对方程(1)求解得到二极孤子。图4(a)是功率P与传播常数μ之间的关系，可以看到P随μ的增大而增大，图中实线是表示稳定区域，虚线表示不稳定区域，其中，调制深度T增大，功率P随μ的增加而增加的速率变缓。而图4(b)为功率P与调制深度T之间的关系，随着T的增加P减小，其中，传播常数μ增大，P随T的增加而减小的速率变缓。图4(c)是传播常数μ与微扰因子实部Re(λ)之间的关系，当实部>0时，对应的孤子不稳定。孤子传输的存在区域与稳定区域中，调制深度与传播常数μ的存在阈值μ1稳定阈值μ2是一一对应，孤子存在时传播常数 (图4(a))，而孤子稳定时μ<μ2(图4(c))，所以二极孤子的稳定区域是δ(μ)=μ2-μ1，图4(d)-(f)分别为T与μ1，μ2，和δ(μ)之间的关系。可以看出二极孤子在调制深度T≥0时存在(图4(d))，且随着T的增大，μ1和μ2均增加，而稳定区域δ(μ)先增大后减小，在T=4稳定区域最小。

图3 (a)(b)(c) 基极孤子强度分布图，参数为(a)T = 2，μ =5，(b) T = 2 ，μ = 10，(c) T = 3，μ = 10，分别对应图3(a)功率曲线所标出的3个点；(d)(e)(f) 基极孤子光场实部分布；(g)(h)(i) 基极孤子光场虚部分布；(j)(k)(l) 基极孤子线性稳定性光谱

图4 (a) 传播常数μ与功率P的关系；(b) 调制深度T与P的关系；(c)传播常数 μ与微扰增长率实部Re(λ)的关系；(d)调制深度T与传播常数存在阈值μ1的关系；(e)调制深度T与传播常数稳定阈值μ2的关系；(f)调制深度T与稳定区域δ(μ)的关系。

图5(a)-(c)表示不同调制深度T和传播常数μ时二极孤子的光场分布，其分别对应图4(a)中所标出的三个点。当T=6，传播常数μ增加时，图5(b)中孤子的光强大于5(a)；当μ=13.8时，图5(c)中孤子的光强小于图5(b)。图5(d)-(f)时对应的二极孤子的光场实部，可以看出它是关于原点奇对称。图5(g)-(i)是二极孤子虚部分布。它是关于原点偶对称。图5(j)(k)(l)是对应孤子的线性稳定性光谱，由于孤子5(a)，5(b)的本征谱仅仅包含虚数特征值，因此这两个孤子稳定；而孤子图3(c)的本征谱包含两对复数和两对实特征值，因此该孤子线性不稳定。这是由于方程1中的非线性项是三五次竞争，它在与晶格的相互作用下限制了色散，非线性效应加强光束宽度变小抑制了孤子的能量转移，使得在这种平衡状态下得到稳定孤子。二极孤子之间存在着相互排斥的作用，这是因为光束在传输过程中基极孤子之间出现了π个相位差，所以在得到稳定的二极孤子时需要对基极孤子更大的调制深度，进而分裂得到二极孤子。

图5 (a)(b)(c)二极孤子强度分布图，参数为(a)T = 6，μ = 11.2，(b) T = 6，μ = 13.8，(c) T = 7，μ = 13.8，分别对应图2(a)功率曲线所标出的3个点；(d)(e)(f) 二极孤子光场实部分布；(g)(h)(i) 二极孤子光场虚部分布；(j)(k)(l) 二极孤子线性稳定性光谱

四、结语

我们研究了基极和二级光孤子在PT对称晶格势中的传输特性。他们具有共同的特点：功率都随着传播常数的增加而增大，随着调制深度的增加而减小。二极孤子内部的排斥力作用导致光束在PT势中分裂成四极孤子。而对于PT 晶格势，当实部的晶格调制系数V0增大时，PT势的相对强度的带隙结构发生变化，PT强度呈波浪式增大，而孤子在低能量区域是稳定的，高能量区域不稳定。

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2095-4654(2016)12-0083-06

2016-10-08 基金项目：国家大学生创新项目资助“可控光子晶格中光孤子传输特性及其应用研究”(201410927007) 通讯作者：徐四六(1969-)，男，湖北省通山县人，博士，湖北科技学院电子与信息工程学院教授，E-mail：1158447603@qq.com。

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