贾 龙 蔡 晋 李 培 常金意

（沈阳航空航天大学航空航天工程学部（院），沈阳 110136）

有限元整体网格细化过程的研究

贾 龙 蔡 晋 李 培 常金意

（沈阳航空航天大学航空航天工程学部（院），沈阳 110136）

本文以一个含孔托架连接螺栓为算例，采用整体网格细化的方法，验证所提出细化标准的正确性。

有限元 整体网格细化 收敛判据 误差控制

引言

随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法已迅速从工程结构强度分析计算扩展到几乎所有的工程技术领域，成为一种应用广泛并且实用高效的数值分析方法[1]。网格细化与计算时间在计算过程中存在冲突。在计算复杂结构时，存在结构突变；在进行有限元计算时，会出现奇异单元，甚至造成计算发散，细化网格难达到计算收敛。然而，实际中这样的结构是不存在的。所以，有必要找到一种合适的判据，确定计算是否足够满足工程设计精度[2-4]。

1 判据设计

基于有限元求解的精确度和求解时间的综合考虑，提出一种判据，用以作为工程计算中出现的网格细化的标准。该标准在求解复杂问题时，能较快地计算出所求合适合理的应力。

式中，Uold为网格细化前结构最大变形；Unew为网格细化后结构最大变形。

该判据实质是考核位移的收敛。在有限元计算中，位移收敛具有很好的可靠性。而如果以其他变量，如应力、应变或者单元能量作为收敛准则的话，可能会导致求解发散。由于应力是位移微分插值得到，为保证整体应力的准确性，emin应保证在1%以内，则整体应力应该接近真实应力水平。

2 模型验证

图1 含孔托架模型的示意图

以一个含孔托架连接螺栓为算例，采用整体网格细化的方法，验证所提出细化标准的正确性。如图1所示，托架的一端固定在稳定的结构上，另一端包含一个半径为15mm的孔。使用时，在孔中插入一个栓。要求确定当栓与孔装配后，沿y轴反方向施加30kN的载荷作用于栓时孔的位移量。

算例中，利用MSC.NASTRAN软件对网格细化进行验证，采用整体网格细化的方法即是同时减小单元尺寸以对网格进行加密细化。网格细化过程，如图2所示。

图2 不同网格密度

通过模型的三个特定结果来考察网格密度的影响：（1）孔底部的位移；（2）孔底部表面处的Mises应力；（3）连接环与母体结构连接处的Mises应力。约束条件见图1所示：（1）根部固支；（2）在圆孔的底部施加50kN的压力

由表1可以看出，计算结果中位移很快收敛，但是应力集中处的应力并没有出现收敛现象，而是随着网格的细化局部应力一致呈现增加趋势。结构越是突变处，随着网格细化，应力激增效应越严重，也就无法判断利用哪个计算结果作为结构最终的有限元分析结果。利用公式（1）计算应变能比值，结果见表2。

表2 网格误差值

从表2可以非常清楚地知道，选用哪组网格细化的有限元分析结果作为最终应力分析结果。采用细网格的单元相对误差较小，说明其计算时间最小的情况下精度最高，其计算结果可以作为有限元计算结果。当单元网格很细时，其emin值很小，然而在连接根部出现应力突变。这说明单元有应力奇异现象出现。

3 结论

自50年代起，有限元分析在航空、水利、土木建筑、机械、结构分析、电磁学、热力学、弹性力学工程设计和工程分析领域就开始得到了广泛应用。有限元网格划分研究中的某些问题尚未找到合适的解决方法。然而，针对这些问题的合理解决，对工程应用具有重要的现实价值和理论意义。从文中给出的例子可以看出，在进行结构有限元分析时，针对系统整体细化，以应变能稳定性作为有限元模型网格细化准则，有较好的效果，且判断比较简单方便，既不耗费计算时间，又可 得到合理的应力。

表1 MSC.NASTRAN网格细化研究结果

[1]李涛，左正兴，廖日东.结构仿真高精度有限元网格划分方法[J].机械工程学报，2009，（6）：304-308.

[2]LB Zhang.A Parallel Algorithm for Adaptive Local Refinement of Tetrahedral Meshes Using Bisection[J]. Numerical Mathematics Theory Methods & Applications，2009，（1）：65-89.

[3]杨晓东，申长雨，李倩，陈静波.结构自适应有限元分析中的高质量网格生成方案[J].机械工程学报，2009，（8）：292-297.

[4]古成中，吴新跃.有限元网格划分及发展趋势[J].计算机科学与探索，2008，（3）：248-259.

Research on Finite Element Overall Mesh Refinement Process

JIA Long, CAI Jin, LI Pei, CHANG Jinyi
（Faculty of Aerospace Engineering, Shenyang Aerospace University, Shenyang 110136）

Based on a Conteau bolt for example, the whole grid refinement method, verifying the correctness of refinement criteria proposed.

finite element, overall mesh refinement, convergence criteria, error control

2014年度辽宁省大学生创新创业训练项目省级（甲类）（DCS140105）；2016年度沈阳航空航天大学教改课题（01011623）。