文／许曌 宋寒亮 （魔术爱好者）

扑克魔术“头牌之和”的数学解密与逻辑

文／许曌 宋寒亮 （魔术爱好者）

扑克魔术“头牌之和”的秘诀在于记住某一张牌，而这张只有魔术师才知道的处于固定张数的牌，其实可以通过数学推理论证出来。看似随机的魔术表演，其实总存在一个常数，造就了“看似偶然的必然”。

一、“头牌之和”的表演过程和魔术揭秘

以数学作为科学原理的魔术，一定与数字有关；而一提到数字，魔术师最常用的道具就是扑克牌。本文要用到的案例就是一个最近在魔术界比较火的扑克魔术——“头牌之和”。该魔术的表演过程如下：

取一副完整的扑克牌，总牌数为54张；将大王、小王剔除，则剩下52张牌面有数字的牌。所有牌正面朝上，从上往下数出一半张数，即26张牌。这26张牌依次摞好，顺序不可打乱，然后牌面朝下扣着放置。此时手中还剩下26张牌，从手中的牌里任意取出3张牌，面朝上从左到右并排放置。此3张牌即为三个“头牌”。以头牌牌面上的数字为起点开始数手里的牌，往后数连续的自然数，每数一个数就从手里的牌中取出一张，放到该头牌上面，一直数到13为止。例如，某一头牌牌面上的数字为9，则以9为起点往后数10、11、12、13，到13为止有四个自然数，则需从手中的牌中取出4张，放在这张9的上面。假如头牌为K，而K代表的13本身又是终止数，所以就不需要再往上加牌，这张头牌一张自成一小堆。另外两个头牌也重复上述过程，这样形成3小堆牌。数完3小堆牌后，将手中剩余的牌扣在先前那一摞扣着放置的一堆牌上面；如果手中的牌不够数这3小堆牌，则从扣着的那一摞牌中，从上往下依次取牌，差几张取几张。此时，准备工作才算就绪，真正的魔术表演要开始了。下一步，魔术师会和观众一起计算出3张头牌牌面数字之和。设“头牌之和”为R，魔术师可以准确地说出：在那一摞扣着放置的牌中，自上往下数的第R张牌是什么！

当然，魔术师并没有透视眼，其所使用的扑克牌也不是特殊道具。那么魔术师究竟是怎样做到的呢？难道是他在最开始数那26张牌的时候将其全部记在脑子里？那样简直就是“最强大脑”了！那这个表演就不叫魔术了。但如果只需要记住一张牌，是不是人人都可以做到呢？没错，魔术师只需记住这26张牌中的其中一张——第16张牌。他只要在快速数出26张牌的时候牢记第16张就足够了。接下来的“头牌之和”不管是多少，只要把那摞扣着的牌从上往下数，数到“头牌之和”之数就是这神奇的第16张牌。

二、“头牌之和”魔术的数学解析

无论3张头牌如何变换，无论“头牌之和”是多少，只要按照这个自然数在那摞扣着的牌中从上往下数下去，总是会落到第16张牌上，所以记住第16张牌即可。既然16是一个常数，就说明其背后一定有规律，我们相信一定可以通过公式推导出来，使这一常数在数学逻辑中得到论证。

假设魔术师在数出26张牌时需要记住的那张牌为第N张牌，3张头牌的牌面数字分别为X、Y、Z，“头牌之和”为R。先以第一小堆的头牌X为例，因为我们需要在X基础上往后数自然数到13为止，所以第一小堆牌的张数为13-X+1，这里的“1”代表头牌本身。同理，第二、三小堆牌的张数分别为13-Y+1和13-Z+1。3小堆牌的张数总和为：（13-X+1）+（13-Y+1）+（13-Z+1），简化后即42-（X+Y+Z）。而X+Y+Z即为“头牌之和”R，故3小堆牌张数总和为42-R。由于最初数完26张牌后，手中还应剩26张，所以放完3小堆牌之后，手中还剩的牌张数为：26-（42-R），简化后即R-16。理论上，R的范围在3至39之间，所以R-16有可能是正数，也有可能是负数。再回到第N张牌，由于开始数26张牌的时候是牌正面朝上数，数完后又正面朝下扣着放置，所以魔术师记住的那张牌也就是这摞扣着的牌从上往下数第N张牌。再将手中剩余的牌扣到这摞牌上面，则记忆的那张牌的张数即为：R-16+N。我们已知这个数恒等于“头牌之和”R，所以可列出等式：R-16+N=R。等式两边抵消后，得出：N-16=0。所以，N=16。

如此，我们就通过数学公式的推导，同样得出了记住第16张牌的结论。人们惊讶于魔术师的出奇表演，其实魔术背后的数学原理却是这样简单。

三、“头牌之和”魔术的衍生版本和逻辑思考

上述案例是“头牌之和”魔术的原初版本，也就是魔术师通常表演的版本，其前提条件是要将一副牌中的大小王剔除。如果我们进行延伸思考：不把大小王剔除，而是用一整副54张扑克牌，会怎样呢？

我们继续沿用上例的逻辑来进行一次推导。魔术师还是首先数出26张牌，设需要记住第N张牌。其它设定条件均不变，演示过程也不变，唯一会出现变化的是在数完这26张之后，手中所剩之牌的数量不再是26，而是28。所以将后面公式中出现26的地方替换成28，如放完3小堆牌之后，手中还剩的牌张数为：28-（42-R）。此后推导方法也同上，此处不再赘述。最终，可以得出结论：N=14。也就是说，如果是用一整副牌54张，那么在数26张牌的时候，记住第14张牌即可。

为什么这个魔术的原初版本要去掉大小王呢？是因为有一定风险存在。大小王在整个魔术表演过程中，有可能存在于四个位置：第一，在那数出的26张牌中；第二，在头牌中；第三，在3小堆中的非头牌位置；第四，在3小堆数完后手中还剩余的牌中。在第一、第三、第四种情形下，对魔术表演没有任何影响，即便是在第一种情形下刚好大小王就是要记住的那第N张牌。风险就出在第二种情形中。如果大小王作为头牌，那么如何确定头牌的点数呢？

其实这个问题也很好解决：可以把大小王设想成1至13之间任意一个自然数，接着往后连续数到13为止。原因在于，从魔术的原初版本中我们得知，无论头牌牌面数字是几，均不影响结论的成立。头牌牌面数字只是一个符号“X”而已，它的功能就是从这个数开始往后数到13为止。如前文所述，若头牌牌面数字为X，则这一小堆牌的张数为13-X+1，两者相加为：X+（13-X+1），简化后为14。所以3小堆牌中每一小堆的牌张数与头牌牌面数字之和恒等于14，这是一个常数，与X等于几没有关系。所以将作为头牌的大小王设想成1至13之间任意一个自然数，并不会违背这个常量。那么3小堆牌的“头牌之和”之数与总张数之和就等于42。42这个数字在上例的推导过程中也出现过，没错，此42正是彼42，我们只不过换了一种方式将42证明了出来。从这里开始按照上例的推导方法继续论证下去，依然可以得出我们想要的结论。

四、结论

由上文的推导论证，可见无论头牌牌面数字为几，无论“头牌之和”是多少，在整个数学推理过程中，始终存在一个常数。正是这个常数的存在，才使这个魔术的表演有一种固定的可能性，这就是扑克魔术“头牌之和”的数学原理。其实很多扑克魔术背后的原理也是如此。魔术师往往需要通过记住某张牌来制造玄机，而这固定张数的一张牌却往往是由一个常数来支撑的，使看似随机的魔术表演，总是有固定因素的存在，这就是“看似偶然的必然”。■