郭 迪，沈洋洋，尹 兵

(南京邮电大学 电子科学与工程学院，江苏 南京 210003)

经验模式分解端点效应抑制方法的研究

郭 迪，沈洋洋，尹 兵

(南京邮电大学 电子科学与工程学院，江苏 南京 210003)

针对经验模式分解法(Empirical Mode Decomposition，EMD)中的端点效应严重影响算法精度的情况，为了减小端点效应，文中提出一种新的先匹配后镜像延拓方法。该方法借鉴镜像对称延拓与波形特征匹配延拓，将信号先进行波形特征匹配延拓再进行镜像对称延拓。利用仿真数据对先匹配后镜像延拓的方法进行了验证，并与原有几种延拓方法在不同评价指标下进行了对比。结果表明，先匹配再镜像延拓后，信号的包络线发生畸变最小，同时新方法分解得到的IMF精度较高，正交性好。先匹配后镜像延拓方法提高了经验模式分解的精度，能更有效地抑制经验模式分解法中的端点效应。

经验模式分解；延拓；端点效应；镜像法；波形特征匹配法

0 引 言

经验模式分解法(Empirical Mode Decomposition，EMD)是由N.E.Huang[1]等提出的新型自适应信号时频处理方法，它把复杂信号分解为模态函数(Intrinsic Mode Function,IMF)之和，同时通过希尔伯特变换对相位微分求解得到瞬时频率，赋予了瞬时频率实际的物理意义。由于分解基于信号的局部特征时间尺度，使得分解具有自适应性与高效性，特别适用于分析非线性、非平稳信号。在EMD分解过程中，需要根据信号提供的极值点信息进行三次样条插值，以便画出信号的上、下包络线，信号的左右两个端点可能不是极值点，这样会使拟合时产生误差。所得到的上、下包络线在信号的边界附近会产生大幅摆动，并且这种拟合误差会随着分解逐渐向信号内部传播，导致得到的IMF分量的波形严重失真。

文中在对EMD分解端点效应深入分析的基础上，提出一种波形匹配法和镜像法相结合的延拓算法，并通过实验仿真证明了其有效性。

1 EMD基本原理与端点效应

1.1 EMD基本原理

EMD分解最基本的步骤是将非线性、非平稳的信号分解为表征信号特征时间尺度的IMF，它满足单分量信号的物理解释。任何IMF必须满足两个条件：

(1)整个数据的极值点的个数和零点的个数相等或是相差一个。

(2)在任意时刻，由局部极值点形成的上、下包络线的平均值为零，即上、下包络线关于时间轴局部对称。

EMD分解步骤如下：找出信号全部局部极大值点与局部极小值点的位置坐标，然后用三次样条插值法分别得到局部极大值包络线与局部极小值包络线，求上、下包络线坐标的平均值，得到一条新曲线(均值线)并记为m1,记其与原始信号x(t)的差值为h1。

h1=x(t)-m1

(1)

判断h1是否满足IMF的条件，如果满足，那么h1就是x(t)的第一个IMF分量；如果不满足，用h1代替原始数据，如果不满足，则重复前述步骤直到h1k=h1(k-1)-m1k满足IMF的条件。h1k为信号x(t)的第一个本征模态函数。记c1=h1k，c1为输入信号中频率最高的分量。再对余量r1=x(t)-c1进行分解，得到c2，重复上述筛选过程直到：

(1)当分量cn或残余分量rn比预定值小时停止循环；

(2)当rn变为单调函数，从中不能再筛选出IMF分量为止。

分解停止后，得到信号x(t)的全部本征模态函数。这样就有：

(2)

以式(3)信号为例，采样频率取fs=2 048Hz。

(3)

按照如上步骤，对信号进行经验模态分解，得到3个IMF分量和一个res分量。如图1所示，IMF1至IMF3分别代表从原始信号分解出来的第1至第3个本征模态函数，其频率由高到低排列；res代表残余分量。

图1 原始信号及各个IMF分量

然后求每个本征模态函数的希尔伯特谱，并将它们相叠加，得到原始信号的希尔伯特谱。如图2所示，图中的3条曲线从上到下分别为IMF1至IMF3的希尔伯特谱。

图2 原始信号的希尔伯特谱

1.2 端点效应

经验模态分解过程中，需要根据信号提供的极值点信息进行三次样条插值以便画出信号的上、下包络线，由于不确定信号的左、右两个端点是否为极值点，会使拟合时产生误差。所得到的上包络线和下包络线在信号的边界附近产生大幅摆动，并且这种拟合误差会随着分解逐渐向信号内部传播，导致得到的IMF分量的波形严重失真，尤其是原始信号长度比较短时，会对经验模态分解的效果造成严重影响。

图1为原始信号经过分解后得到的各个IMF分量，可见IMF2的两端有明显的震荡。这是HHT的第一个端点效应[2-5]。而且在对各个IMF分量进行Hilbert谱变换时，由端点效应引起的误差从数据的中心向外逐渐扩散，希尔伯特谱的两端也产生突变和振荡，如图2所示。这是HHT中的第二个端点效应。端点效应的存在不利于信号的分析和处理。

2 抑制端点效应的常用方法

2.1 镜像对称延拓

镜像延拓的思路是在原始信号的两端某位置各放一面镜子，得到原始信号在镜中的像，镜子中原始信号的像关于镜子与原数据对称。

镜像对称延拓法关于镜子位置的选择，分为以下几种情况：

对采样起始点：

(1)第一个极值点是极大值时，如果第一个采样点大于第一个极小值点，以第一个极大值为对称中心；如果第一个采样点小于第一个极小值点，则将其作为极小值点，并将其作为对称中心。

(2)第一个极值点是极小值时，如果第一个采样点小于第一个极大值点，以第一个极小值为对称中心；如果第一个采样点的值大于第一个极大值点，则将其作为极大值点，并将其作为对称中心。

对采样结束点：

(1)最后一个极值点是极小值时，如果最后一个采样点的值小于最后一个极大值，将其作为对称中心；如果最后一个采样点的值大于最后一个极大值，则将其作为极大值点，并将其作为对称中心。

(2)最后一个极值是极大值时，如果最后一个采样点的值大于最后一个极小值，则把最后一个极大值点作为对称中心；如果最后一个采样点的值小于最后一个极小值，则将其作为极小值点，并将其作为对称中心。

2.2 波形特征匹配延拓法

波形特征匹配延拓法基于波形匹配的思想，其基本思路是从信号内部寻找一个与边界处特征最相近的波形作为延拓数据的起点，按照所需延拓长度从信号内部取出匹配波形数据前面(或后面)相应长度的数据连接到边界处，完成延拓。通过波形特征匹配延拓得到的数据符合信号的自然趋势，能有效抑制Hilbert变换的端点效应。

波形匹配延拓原理如图3所示。

图3 波形特征匹配延拓示意图

以信号左边界第一个极值点为极大值为例，Mi,Ni(i=1,2,…)分别为波形的极大值、极小值点，其时间点为tmi,tni,S1为第一个采样点，波形特征匹配延拓法将S1-M1-N1作为特征波形，在全部波形中找到与S1-M1-N1构成的三角形最接近的波形为匹配波形Sk-Mk-Nk，从匹配波形Sk-Mk-Nk开始，向前对波形数据进行延拓。

具体步骤如下：

(1)根据S1与边界处极值点的时间相对位置寻找对应点Si，其时间坐标为：

(4)

如果tsi不在采样点上，可以用线性插值法计算其精确值si。时间点和采样点可以互相转化。

(2)计算匹配误差。

Ei=|Si-S1|+|Ni-N1|+|Mi-M1|+|Mi+1-M2|

(5)

式中，|Mi+1-M2|为匹配波形的趋势项，它反映了特征波形相对后一个极值点的位置。

(3)选取Ei值最小的波形为匹配波形，如果有多个Ei相等且为最小值，则取与左端点距离最远的波形为匹配波形。

(4)从匹配波形的右端的前一点开始，将实际波形复制到S1前，根据需要选择延拓点数，如果信号中Si前数据点个数少于需要延拓的点数，可反复延拓此段波形。

(5)采用同样的原理对右边界进行延拓。

3 波形匹配法和镜像法相结合的新算法

3.1 算法步骤

对以上两种延拓方法进行理论研究，可发现：镜像法虽然对端点是否为极值点进行了判断，但在以内部极值点为对称中心对信号进行延拓时，需要截断原始数据，这对短数据序列是不适用的；波形匹配法在出现信号中Si前数据点个数小于需要延拓的点数这种情况时，给出的解决方案是反复延拓此段波形。这会造成信号幅值的突变。为此，文中提出一种新的波形延拓方法：波形特征匹配法和镜像法相结合的新算法。

算法步骤如下：

(1)先对原始信号x1的两端进行波形匹配延拓，得到信号x2。延拓的长度为端点到第2个极值点的长度。

(2)对x2进行镜像延拓，得到信号x3。镜子的位置选在x2最外端的极值点处。

下文中将波形匹配法和镜像法相结合的算法称为先匹配后镜像延拓算法。

将式(3)中的原始信号进行先匹配后镜像延拓，得到的延拓信号如图4所示。

图4 先匹配后镜像延拓效果图

3.2 端点效应评价

一些学者对于端点效应的评价标准做了研究。文献[6]提出通过计算EMD后信号的总能量来评估端点效应的影响程度;文献[7]提出利用IMF与对应信号分量的相关系数来评价EMD得到的IMF精度;文献[8]提出考虑比较不同算法的运行时间。

文中采用下述4个指标来评价多种端点效应处理方法的效果:

(1)从能量的角度，端点效应的实质是信号的包络线发生畸变，而产生了一些虚假成分，各IMF总能量会相应增加，因此，可以比较EMD分解前后的能量来评估端点效应的影响程度[9-14]。

(6)

其中：RMSorignal为原信号有效值;RMSi为第i个IMF的有效值;n为IMF总个数(包括EMD的残余分量);θ的值越小，表示端点效应的影响越小。

(2)比较EMD分解得到的模态分量和原信号相应分量的相关系数ρ来评价IMF的精度。

(3)比较各个方法的运算时间t(单位为s)，在保证处理效果的同时，要避免算法过于复杂。

(4)EMD分解的正交性要满足实际意义，即：

(7)

如果分解的信号满足正交性，则式(7)右边第二项为零，因此可用正交性系数ORT来衡量分解精度，ORT值越小表示时间序列的IMF分量正交性越好。

(8)

按照上述评价指标，求得的几种端点处理方法的评价指标如表1所示。

从表中可以看出，从能量角度，先匹配再镜像延拓后，信号的包络线发生畸变最小，同时新方法分解得到的IMF精度较高，正交性好。

表1 端点处理方法性能比较

对式(3)的原始信号使用先匹配再镜像的延拓方法，然后进行EMD分解，并根据采样点数截取延拓组IMF分量中对应着原始信号的部分，得到的结果如图5所示。

从图中可看出，先匹配再镜像延拓法分解信号的效果非常好，很好地抑制了EMD分解中出现的端点效应，把端点效应造成的误差限制在了信号端点的外侧，得到的IMF分量比较理想。

图5 先匹配再镜像延拓信号的IMF

由此可见，先匹配再镜像延拓方法是一种有效的延拓方法，当原始信号长度较短时，使用此方法对其进行延拓，然后再使用EMD方法对其进行分解，可有效抑制端点效应的产生。

4 结束语

介绍了两种常用的延拓方法，并提出了一种先匹配再镜像延拓新方法，给出了具体操作步骤，并进行了实例仿真。

给出了端点效应评价的4种指标，对先匹配再镜像延拓进行了端点效应评价，并与原有的镜像匹配延拓与波形匹配延拓在不同评价指标下进行了详细比较。

通过比较可以证明，使用先匹配再镜像延拓的方法，增加了EMD分解得到的IMF的正交性，提高了EMD分解精度，改进了原有延拓方法的不足。

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Research on Method for End Effects Reduction of Empirical Mode Decomposition

GUO Di,SHEN Yang-yang,YIN Bing

(College of Electronic Science and Engineering,Nanjing University of Posts and Telecommunications,Nanjing 210003,China)

The precision of Empirical Mode Decomposition (EMD) is reduced greatly by its end effects,so a new end extending method combining the waveform feature matching extending method and mirror extending method is presented.The waveform feature matching extending method and mirror extending are used for reference in this new method,the signal is extended by waveform feature matching method at first and then extended by mirror method.A simulation signal is applied to test the performance of the new method,and a comparison under different evaluating indicators between the new method and old methods is made and analyzed.The result shows that the signal envelope has minimum distortion,at the same time,the IMF has high precision and good orthogonality decomposed by new method.The proposed improved extending method can improve the precision of EMD and restrain the end effect effectively.

EMD;extending;end effect;mirror method;waveform feature matching method

2015-06-04

2015-09-08

时间：2016-02-18

国家自然科学基金资助项目(61003237)；江苏省高校自然科学研究(10KJB510018)

郭 迪(1991-)，男，硕士，研究方向为智能信息处理。

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1450.TP.20160218.1630.022.html

TP301

A

1673-629X(2016)03-0089-04

10.3969/j.issn.1673-629X.2016.03.021