一、聚焦考纲

1.了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系.

2.了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示.

3.理解变换的复合与矩阵的乘法，理解二阶矩阵的乘法和简单性质.

4.理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵.

5.理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量.

二、知识梳理

1.矩阵的乘法规则

（1）行矩阵[a11a12]与列矩阵b11

b21的乘法规则：[a11a12]b11

b21=a11×b11+a12×b21.

（2）二阶矩阵a11a12

a21a22与列向量x0

y0的乘法规则：a11a12

a21a22x0

y0=a11×x0+a12×y0

a21×x0+a22×y0.

设A是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则

①A（λα）=λAα;②A（α+β）=Aα+Aβ;③A（λ1α+λ2β）=λ1Aα+λ2Aβ.

（3）两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：

a11a12

a21a22b11b12

b21b22

=a11×b11+a12×b21a11×b12+a12×b22

a21×b11+a22×b21a21×b12+a22×b22.

性质：①一般情况下，AB≠BA，即矩阵的乘法不满足交换律;②矩阵的乘法满足结合律，即（AB）C=A（BC）;③矩阵的乘法不满足消去律.

2.矩阵的逆矩阵

（1）逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A，B，若有AB=BA=E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵.若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵B是唯一的，通常记A的逆矩阵为A-1，A-1=B.

（2）逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A=ab

cd（detA=ad-bc≠0），它的逆矩阵为

A-1=dad-bc-bad-bc

-cad-bcaad-bc.

（3）逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x，y的二元一次方程组ax+by=m

cx+dy=n的系数矩阵A=ab

cd可逆，

那么该方程组有唯一解x

y=ab

cd-1m

n，其中A-1=dad-bc-bad-bc

-cad-bcaad-bc.

3.二阶矩阵的特征值和特征向量

（1）特征值与特征向量的概念

设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα=λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的一个属于特征值的一个特征向量.

（2）特征多项式与特征方程

设λ是二阶矩阵A=ab

cd的一个特征值，它的一个特征向……