☉浙江省绍兴市高级中学　阮伟强

一道“另类”函数小题的剖析与思考

☉浙江省绍兴市高级中学阮伟强

2015年浙江省高考数学试卷（理科）中有这样一道小题：存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）.

（A）f（sin2x）=sinx（B）f（sin2x）=x2+x

（C）f（x2+1）=|x+1|（D）f（x2+2x）=|x+1|

此题秉承了浙江高考数学卷一贯的命题风格：简约而不简单.然而，从高考后的反馈看，不少学生的感觉是“另类”，表现在：首先，与平常做过的大量函数小题（侧重于求最值、零点、判断图像形状等）对不上号，积累的经验与方法不管用；其次，虽想到用换元法来求f（x），但对得出的答案心里仍没底.具体就是：对选项A、B，令sin2x=t后，发现要反解出sinx及x，觉得较困难，就认为f（x）不存在；对选项C，令x2+1=t，可得f（t）=|±+1|，对选项D，令x2+2x=t，可得x+1=±，故f（t）=|±|=.最后，想到常见函数解析式的形式，觉得应选D.鉴于学生的上述困惑，笔者认为十分有必要就考题作一番剖析与思考.

一、命题探源

初识考题，笔者便有似曾相识之感，原因是：学生手头的教辅资料中，时不时会出现下列问题：“①若f（log2x）=x，则f（2）=______；②若f（sinx）=cos3x，则f（0）=______.”等等.学生初次接触问题①，常常会这样解：先用换元法求出f（x），再代入求出f（2）.而教师会引导学生无需求出f（x），只要直接取x=4就得f（2）=4.学生在尝到甜头后，会模仿着解决问题②，就是取x=0得f（0）=cos0=1.然而，细心的学生会发现：若取x=π却得f（0）=f（sinπ）=cos3π=-1，对此，学生会感到十分困惑.当然，教师心里是清楚的.既然有f（0）=1及f（0）=-1，对照函数概念知，这样的函数是不存在的，故问题②是个错题.至此，笔者猜想：命题者或许正是从这种颇为“流行”的错题中获得灵感，编制出上述考题，属妙手偶得之作.预期的效果是：首先，在纠正“流行”错题的同时，考验了每个教师应对和处理错误的水平和能力，而从学生对考题有“另类”之感表明，结果是不容乐观的.其次，再一次唤醒我们要重视概念教学，要帮助和引导学生养成从概念出发思考和解决问题的意识.

二、解法探究

基于上述探究，立足于函数的定义，考题可这样来解.

解：对选项A，考虑到f（0）=f［sin（2×0）］=sin0=0，f（0）不符合函数的定义，故f（x）不存在；同理，对选项B可得f（0）=0及f（0）对选项C可得f（2）=2及f（2）=0，故选项A、B、C均是错误的，正确答案是选项D.进一步，既可用换元法来求f（x），也可以直接配凑来求，具体就是：f（x2+2x）=f［（x+1）2-1］=|x+1|=，故存在函数

三、拓展

显然，从考题中可提炼出下列值得思考的问题：一般地，设函数g（x）与φ（x）有相同的定义域为D，是否存在函数f（x），对任意的x∈D，使得f［g（x）］=φ（x）成立？经研究，可获得下列3个结论：

结论1：若g（x）为一一对应型函数，则存在函数f（x），对任意的x∈D都有f［g（x）］=φ（x）.

证明：设g（x）的值域为M，由于g（x）为一一对应型函数，对M中的任意y0，g（x）的定义域中有唯一的x0与之对应，故f（y0）有唯一值φ（x0）与之对应，故f（x）表示函数关系，即函数f（x）存在.

结论2：若g（x）为多对一型函数，而φ（x）属于一一对应型函数，则不存在函数f（x），对任意的x∈D都有f［g（x）］=φ（x）.

证明：由于g（x）是多对一型函数，故g（x）的定义域中必存在有x1≠x2，使g（x1）=g（x2）=y0，所以f（y0）=φ（x1）= φ（x2），但φ（x）属于一一对应型函数，所以φ（x1）≠φ（x2），即对于f（y0）而言，有两个不同的值φ（x1）和φ（x2）与之对应，故f（x）不存在.

结论3：若g（x）、φ（x）均为多对一型函数，则对任意的x∈D使得f［g（x）］=φ（x）成立的f（x）可能存在，也可能不存在.

不难发现，考题正是基于结论3编制而成.

四、思考

总之，考题再次告诫我们：概念和定义是数学的根基，是数学内容的高度总结和抽象，用其作为解题的手段往往能为我们提供思考的方向而直击问题要害.那么，如何“玩概念”呢？笔者的感悟是：既要重视概念教学的前半段，也要重视概念教学的后半段.前半段就是：概念教学起始，创设问题情景固然重要，但更重要的是能多渠道、多视角，帮助学生揭示和理解概念的本质、内涵与外延；后半段是：概念的应用，要让学生养成从概念出发思考问题的意识与习惯.事实上，凡是参加过高考阅卷的老师，都会有这样的体会：解答题中的大量低分卷，多半是概念理解不到位、甚至不准确所造成的.总之，如何“玩概念”是数学教学的一个永恒课题，值得我们一线教师不断实践与探索.

1.徐智愚．争执与创意：对一个错题的再探究［J］．数学教学，2015（4）.

2.何永坚．打破定势，追求灵动——由高考数学命题“吐槽”引发的思考［J］．中学数学（上），2015（10）.