张子珩， 储茂权

(安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241000)

GWCN环的一些研究

张子珩， 储茂权

(安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241000)

本文主要讨论了GWCN环的若干性质以及它与一些特殊环的关系，研究了GWCN环的强正则性，证明了：若R是有Abelian极大左理想的GWCN环，那么下列条件等价：(1)R是强正则环；(2)R为左GP-V’-环，且R的极大本质左理想均为广义弱理想; (3) R是左GP-V’-环，且R的极大本质右理想均为广义弱理想.

GWCN环；约化环；弱半交换环；强正则环

1 预备知识

本文中的环均指有单位元的结合环.环中的单位元记为1.设R是环，记Z(R)，N(R)，E(R)分别是R的所有中心元，幂零元，幂等元的集合，P(R)，J(R)分别是R的素根和(Jacobson)根.对任意a∈R，l(a)，r(a)分别为a的左零化子及右零化子.对任意正整数n，Rn×n和Tn(R)分别表示R上的全体n×n阶矩阵和n×n阶上三角矩阵之集,Rn={(an)∈Tn(R)|a11=a22=…=ann}.

称环R为约化环[1]，若N(R) =0.称环R为CN环[2]，若N(R)⊆Z(R).称环R为GWCN环[3]，若对任意的a∈N(R)，b∈R，有a2b2=ab2a.称环R为强正则环[4]，若对任意的a∈R，总存在b∈R，使得a=a2b.

显然CN环是约化环的推广，GWCN环是CN环的推广.

本文的主要目的是讨论GWCN环的一些性质，研宄GWCN环与一些特殊环的关系，讨 论GWCN环是强正则的一些条件.

2 主要结果

引理2.1 若环R为约化环或交换环，则R2为GWCN环.

环R为约化环时a=0，显然有A2B2=0=AB2A.

命题2.2 设R为任意环，自然数n≥3,那么

(1)Rn不是GWCN环；

(2)Tn(R)不是GWCN环；

(3)Rn×n不是GWCN环.

(2)与(1)类似可证.

(3)假设Rn×n是GWCN环，由于GWCN环的子环仍为GWCN环，那么Tn(R)为GWCN环，矛盾.故当n≥3时Rn×n不是GWCN环.

称环R为弱半交换环[5]，若对任意ab=0,a,b∈R有aRb⊆N(R).

命题2.3 GWCN环是弱半交换环.

证明：设R为GWCN环，xy=0，其中x,y∈R.由于(yx)2=0,yxr2yx=0，对任意的r∈R.取任意t∈R，用r+tx替换r，得yxtxryx=0，yxRxRyx=0.对任意的a∈R，有(yxa)3=0，那么(xay)4=xa(yxa)3y=0.因此xay∈N(R).故R是弱半交换环.

例……