□黄细把

探索角的规律问题

□黄细把

学习了角的知识后，同学们有时会遇到一些探索角的规律问题.这类问题的最大特点是在已知条件下，先求出一个角的度数或确定两个角之间的关系，然后使原问题的某些条件发生变化，要求我们探索原结论的变化情况或变化规律.下面举例说明.

例1如图1，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC.

（1）求∠MON的度数；

（2）若∠AOB＝α，其他条件不变，则∠MON＝；若∠BOC＝β，其中β为锐角，其他条件不变，则∠MON＝____；

（3）从上面的结果中，你能得出什么结论？

图1

分析：从∠MON＝∠MOC－∠CON入手，求∠MON的度数.

解：（1）由∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，

得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC

＝120°.

因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，

所以∠MON＝∠MOC－∠CON

＝45°.

（2）先分别求出或用字母分别表示∠MOC和∠CON的度数.

若∠AOB＝α，其他条件不变，

则∠AOC＝α＋30°.

所以∠MON＝45°.

（3）从上面结果可以看出，不管∠AOB或∠BOC如何变化，∠MON的大小只与∠AOB有关，且∠MON＝∠AOB.

例2如图2所示，∠AOB和∠COD都是直角.

（1）试猜想，∠AOD和∠BOC在数量上是否存在相等、互余或互补关系？你能说明其正确性吗？

（2）当∠COD绕点O旋转到图3的位置时，你的猜想还成立吗？

图2

图3

分析：由于∠AOD是钝角，∠BOC是锐角，所以它们之间不可能存在相等或互余关系，只可能存在互补关系.这只需判断它们的和是否等于180°.

解：（1）在图2中，∠AOD和∠BOC在数量上存在互补关系.理由如下：

因为∠AOB＋∠AOD＋∠COD＋∠BOC＝360°，

又∠AOB＝90°，∠COD＝90°，

所以∠AOD＋∠BOC＝180°.

所以∠AOD和∠BOC互补.

（2）在图3中，∠AOD和∠BOC的互补关系还成立.理由如下：

因为∠AOB＝90°，

所以∠AOD＝90°＋∠BOD.

因为∠COD＝90°，

所以∠BOC＝90°－∠BOD.

所以∠AOD＋∠BOC＝（90°＋∠BOD）＋（90°－∠BOD）＝180°.

所以∠AOD和∠BOC互补.

例3如图4，OB、OC是∠AOD内部的两条射线，OM和ON分别∠AOB和∠COD内部的一条射线，且∠AOD＝α，∠MON＝β.

图4

（1）当∠AOM＝∠BOM，∠DON＝∠CON时，试用含α和β的式子表示∠BOC；

（2）当∠AOM＝2∠BOM，∠DON＝2∠CON时，∠BOC等于什么？当∠AOM＝3∠BOM，∠DON＝3∠CON时，∠BOC等于什么？

（3）根据上面的结果，请填空：当∠AOM＝n∠BOM，∠DON＝n∠CON时，∠BOC＝____.

分析：不难发现，∠BOC＝∠MON－（∠BOM＋∠CON）.单独求∠BOM和∠CON非常困难，应把∠BOM＋∠CON当作一个整体.

解：（1）由∠AOM＝∠BOM，

∠DON＝∠CON，

得∠BOM＋∠CON

＝∠AOM＋∠DON.

因为∠AOD＝α，∠MON＝β，

所以∠AOM＋∠DON＝α－β.

因为∠BOC＝∠MON－（∠BOM＋∠CON），

所以∠BOC＝β－（α－β）

＝2β－α.

（2）先用含α和β的式子表示∠BOM＋∠CON.

当∠AOM＝2∠BOM，

∠DON＝2∠CON时，

得∠BOM＋∠CON

所以

∠BOC＝∠MON－（∠BOM＋∠CON）

当∠AOM＝3∠BOM，

∠DON＝3∠CON时，

得∠BOM＋∠CON

（3）仔细观察和比较条件中∠AOM与∠BOM、∠DON与∠CON之间的变化情况，及求出的∠BOC的关系式，得