许天亮， 樊晓敏， 张跃进

(1.郑州财经学院 信息工程学院，河南 郑州 450000；2.华东交通大学 信息工程学院，江西 南昌 330013)

非线性分数阶微分方程的同伦分析解法

许天亮1*， 樊晓敏1， 张跃进2

(1.郑州财经学院 信息工程学院，河南 郑州 450000；2.华东交通大学 信息工程学院，江西 南昌 330013)

针对非线性分数阶微分方程的求解问题，提出一种利用同伦分析法(HAM)的近似求解方法.首先，合理选择辅助参数构建同伦方程.然后，通过构建零阶形变方程和高阶形变方程将原问题分解为多个线性问题，并分别求解.最后，获得在较大范围内收敛的级数解析解.数值实验表明该方法能够有效地求解非线性分数阶微分方程.

非线性分数阶微分方程；同伦分析法；形变方程；近似解

常用的非线性微分方程在求解过程中，经常涉及变量的离散化，从而需要进行四舍五入[1]，增加了求解误差.为此，人们引入了分数阶微积分来建模非线性现象.分数阶微积分[2]是一种整数微积分的自然扩展，允许微积分的阶次是任意阶，在流体力学、化学物理、控制动系统理论、电力网络等领域有广泛应用.对于分数阶微积分方程的近似求解，目前主要的方法有Adomian分解法[3]、变分迭代法、有限元方法、有限差分方法和同伦摄动法等[4].

同伦分析法(Homotopy Analysis Method, HAM)[5]是一种求解非线性问题近似解的方法，其基本思想是通过构建零阶和高阶形变方程将一个非线性问题转化为一系列线性问题进行求解[6].HAM具有较强的近似级数解的收敛性，且能够解决传统同伦摄动法依赖于小参数的缺陷[7].为此，本文介绍了一种基于同伦分析法来求解非线性分数阶微分方程的方法，列举了对一种齐次时间分数阶KdV-mKdV方程和非齐次时间分数阶微分方程求解的过程.

1 相关知识

1.1 分数阶微积分

以Caputo分数阶微积分[8]为例，给出了分数阶微积分的主要概念和性质.

其中α>0，Γ为Gamma函数，且I0f(x)=f(x).

我们有：1) DuDvf(t)=Du+vf(t);2) DuJuf(t)=f(t),m-1

1.2 同伦分析法

考虑一般形式的微分方程[9]：

(1)

X(x,t;0)=u0(x,t)和X(x,t;1/n)=u(x,t).

(2)

为了计算um(x,t)，定义向量un如下：

un={u0(x,t),u1(x,t),…,un(x,t)} .

将(1)两边对参数q求m阶偏导，并除以m!，然后令q=0，从而得到的m阶形变方程如下：

L[um(x,t)-χmum-1(x,t)]=hRm[um-1(x,t)]，

(3)

(4)

然后，只要对式(3)两端进行L逆算子操作，即可计算出um(x,t).

2 齐次分数阶微分方程的求解

以时间分数阶齐次KdV-mKdV方程[10]为例，利用上述同伦分析方法来求解齐次分数阶微分方程，其表达式为：

(5)

根据同伦方法思想，将其构造成一个零阶形变方程：

选择H(x,t)=1来获得m阶形变方程：L[um(x,t)-χmum-1(x,t)]=hRm(um-1), 对于初始条件：m≥1，um(x,0)=0，χm如式(4)中定义且

然后，使用HAM可成功地获得解的各级数解，即m=3,4,…时的um(x,t)，其中：

利用HAM可将级数解表达式写成以下形式：

(6)

方程(6)为问题(5)关于收敛参数h和n的最终解.

3 非齐次分数阶微分方程的求解

考虑以下形式的时间分数阶非齐次微分方程：

(7)

选择H(x,t)=1来获得m阶形变方程，为L[um(x,t)-χmum-1(x,t)]=hRm(um-1).对于初始条件：m≥1，um(x,0)=0，χm如方程(4)中定义且

然后，使用HAM可成功地获得解的各级数解，即m=3,4,…时的um(x,t)，其中：

接着，利用HAM可将级数解表达式写成以下形式：

(8)

由此，本文获得了由两项级数表示的式(7)非齐次微分方程的近似解.

4 结 论

本文利用HAM求解了齐次和非齐次分数阶微分方程，根据初始条件合理确定基函数，然后通过选择合适的辅助算子来构建零阶和高阶形变方程，得到该问题的近似解，并给出了m阶近似解的一般形式.级数解中含有辅助参数h，可用来调整级数的收敛性.数值实验表明了本文方法在求解非线性分数阶微分方程方面的优越性，进一步扩展了HAM的应用范围.

[1] 陈一鸣, 孙艳楠, 刘立卿,等. 基于拟Legendre多项式求解一类分数阶微分方程[J]. 计算数学, 2015, 37(1):21-33.

[2] 兰永红, 李亨博, 刘潇. 分数阶非线性系统高阶P型迭代学习控制收敛性分析[J]. 湘潭大学自然科学学报, 2015, 37(2): 1-9.

[3] CHEN Y, YI M, YU C. Error analysis for numerical solution of fractional differential equation by Haar wavelets method[J]. Journal of Computational Science, 2012, 3(5): 367-373.

[4] 吴玥. 利用一种新的同伦摄动方法对一类偏微分方程求解[J]. 湘潭大学自然科学学报, 2012, 34(2): 7-11.

[5] 郑敏毅, 胡辉, 郭源君,等. 应用优化的同伦分析法求解非线性Jerk方程[J]. 振动与冲击, 2012, 31(5): 21-25.

[6] ABBASBABDY S, HASHEMI M S,HASHIM I. On convergence of homotopy analysis method and its application to fractional integro-differential equations[J]. Quaestiones Mathematicae, 2013, 36(1):93-105.

[7] KUMAR S, KUMAR D. Fractional modelling for BBM-Burger equation by using new homotopy analysis transform method[J]. Journal of the Association of Arab Universities for Basic & Applied Sciences, 2013, 16(3):16-20.

[8] HENDERSON J, KOSMATOV N. Eigenvalue comparison for fractional boundary value problems with the Caputo derivative[J]. Fractional Calculus & Applied Analysis, 2014, 17(3): 872-880.

[9] 谭璐芸. 时-空分数阶扩散方程的同伦近似解[J]. 延安大学学报:自然科学版, 2014, 33(2): 6-9.

[10] MANAFIANHERIS J, AGHDAEI M F. Application of the Exp-function method for solving the combinedKdV-mKdVand Gardner-KP equations[J]. Mathematical Sciences, 2012, 6(1): 1-8.

责任编辑：龙顺潮

Homotopy Analysis Method for Nonlinear Fractional Differential Equation

XUTian-liang1*,FANXiao-min1,ZHANGYue-jin2

(1.Department of Information Engineering, Zhenzhou Institute of Finance and Economics, Zhenzhou 450000; 2.School of Information Engineering, East China Jiaotong University, Nanchang 330013 China)

For the issue that the solution of nonlinear fractional differential equations, an approximate method based on homotopy analysis method (HAM) is proposed. Firstly, the auxiliary parameters are reasonable chosen according to the problem itself to construct the homotopy equation. Then, the original problem is decomposed into a number of linear problems by constructing the zero order deformation equation and the higher order deformation equation. Finally, the analytic solutions of a wide range of convergent series are obtained. The numerical results show that this method can effectively solve the nonlinear fractional differential equation.

nonlinear fractional differential equation; homotopy analysis method;deformation equation; approximate solution

2016-03-11

河南省高等学校重点科研资助项目 (16A110038)

许天亮(1981—)，男，河南 开封人，讲师. E-mail:xutianliangzzfe@126.com

O175

A

1000-5900(2016)04-0006-04