郭战伟, 丁丹平

(1.广东财经大学 华商学院，广东 广州 511300； 2.江苏大学 理学院，江苏 镇江 212013)

一类双重退化方程解的爆破

郭战伟1, 丁丹平2*

(1.广东财经大学 华商学院，广东 广州 511300； 2.江苏大学 理学院，江苏 镇江 212013)

研究一类带Robin条件边界条件的双重退化方程解的爆破，获得了该方程发生爆破的下界，给出了其解不发生爆破的标准，最后研究了带Neumann边界条件下双重退化方程的解发生爆破的上界.

爆破；整体存在；边界条件； 双重退化方程

我们主要考虑在Ω×(0,t*)内，双重退化方程

(1)

[1]介绍了方程(1)的现实意义，主要用来研究湍流过滤的问题.[2]得到了当m=1时方程(1)解的局部存在性.[3]证明了带有非正初始能量的方程解的爆破.[4]考虑了带齐次Dirichlet条件的方程(1)解的爆破.[5][6]研究了带齐次Dirichlet 边界条件的偏微分方程的爆破问题.[7][8]研究了带Robin边界条件的爆破问题.本文中我们主要研究方程(1)的爆破问题.现假设在∂Ω×(0，t*)上：

(2)

u(x,0)=u0(x)≥0.

(3)

1 带Robin边界条件下方程(1)的解爆破时的下界

我们假定非负函数f满足：

f(ξ)≤a1+a2ξq,ξ>0，其中q>1 .

(4)

令φ(t)=∫Ωum+1dx=∫Ωuσdx, 则

令v=um，我们有：

(5)

(6)

(7)

再由散度定理可得：

(8)

把(8)代入(7)可得：

(9)

由(6)和(9)得：

(10)

把(10)代入(5)可得：

(11)

令β=σ/(2m)+p/2，可得：

(12)

使用[7]中不等式(2.27)可得：

( 13)

( 14)

把(14)代入(13)可得

(15)

(16)

使用不等式arb1-r≤ra+(1-r)b，00 ，有

(17)

其中A1，A2为使书写方便假定的系数，且ε1，ε2为正常数.把 (17) 带入 (12) 可得：

(18)

从而得到了方程(1)的解爆破时的下界t*，即

(19)

这样我们得到:

定理1.1 假设Ω为R3内一个有界的星型域，B1和B3为(18)所定义.u为方程(1)～(3)的非负解；假设函数f满足条件(4)，且不等式(13)和(16)成立.如果u(x,t)在测度φ下的某个有限时间t*无界，则t*就是(19)的下界.

2 方程(1)～(3)的解不发生爆破的标准

定理2.1 假设u为方程(1)～(3)的非负经典解.函数f仍然满足条件(4)，q满足：

q<(p-1)m,

(20)

则方程(1)～(3)的解不爆破，也就是说方程(1)的解u整体存在.

为了证明定理2.1，定义 φ(t)=∫Ωum+1dx=∫Ωuσdx. 令v=um,得：

(21)

(22)

(23)

令(20)中的q>1，p>2.对于任意的常数ε3>0，由(23)可得：

(24)

把(24)代入(22)：

φ′(t)≤-M1∫Ωvpdx+M2∫Ωvdx ，

由此

这样，φ′(t)≤0，这将导致衰减.所以u不可能爆破，从而证明了定理2.1.

3 带Neumann边界条件下方程的解发生爆破的上界

我们首先假设：

(25)

ξmf(ξ)≥(m+1)(1+γ)F(ξ),ξ>0，

(26)

(27)

定理3.1 如果u是方程(1)～(3)的非负经典解，并且(25)～(27)成立，则u在时间t*时爆破，并且t*的上界T=φ-γ(0)/((m+1)γ(1+γ)M) ，其中M=φ-(1+γ)(0)Ψ(0) .

证明 由于φ(t)=∫Ωum+1dx=∫Ωuσdx，有

由(26)和(27)得：

(28)

(29)

对恒等式

两边积分得：

(30)

由(29)和(30)得

由于Ψ(0)>0，并且Ψ(t)>0，利用Schwarz不等式，有

从而

(φ′(t))2≤(m+1)φΨ′.

(31)

联合(29)和(31)，有

φΨ′(t)≥(φ′(t))2/(m+1)≥(1+γ)φ′Ψ，

从而 (φ-(1+γ)Ψ)′≥0，从0到t积分得：

φ-(1+γ)(t)Ψ(t)≥M,

其中M=φ-(1+γ)(0)Ψ(0)，由(30)得：

φ′(t)≥(m+1)(1+γ)Ψ(t)≥(m+1)(1+γ)Mφ1+γ(t)，

两边积分得

φ-γ(t)≤φ-γ(0)-(m+1)γ(1+γ)Mt，

这使得：t*≤T，其中 T=φ-γ(0)/((m+1)γ(1+γ)M) .这样，得到爆破时间t*的上界T.

[1] ESTABEN J L,WAZQUAZ J L.On the equation of filtration in one dimensional porous medium[J].Nonlinear Anal,1986,10:1305-1325.

[2] TSUTSUMI M.Existence and nonexistence of global solutions for nonlinear parabolic equations Publ[J].Res Inst Math Sic,1972,8:211-229.

[3] WANG J,GAO W J.Existence of solutions to a class of doubly degenerate equations and blow up with vanishing initial energy[J].J Math Res Exposition,2007,27:161-168.

[4] MU C L,ZENG R,CHEN B T.Blow-up phenomena for a doubly degenerate equations with positive initial energy[J].Nonlinear Analysis,2010,72:782-793.

[5] PAYNE L E,SCHAEFER P W.Lower bounds for blow-up time in parabolic problems under Dirichlet conditions[J].J Math Anal Appl,2007,328:1196-1205.

[6] PAYNE L E,PHILIPPIN G A,SCHAEFER P W.Blow-up phenomena for some nonlinear parabolic probems[J].Nonlinear Analysis,2008,69:3495-3502.

[7] LI Y F,LIU Y,LIN C H.Blow-up phenomena for some nonlinear parabolic problems under mixed boundary conditions[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2010,11:3815-3823.

[8] DING J T.Global and blow-up solutions for nonlinear parabolic problems with a gradient term under Robin boundary conditions[J].Boundary Value Problems,2013,65(11):1808-1822.

责任编辑：龙顺潮

Blow-up Phenomena for a Doubly Degenerate Equation

GUOZhan-wei1,DINGDan-ping2*

(1.Huashang College，Guangdong University of Finance & Economics, Guangzhou 511300; 2.Faculty of Science,Jiangsu University, Zhenjiang 212013 China)

This paper deals with the blow- up phenomena for a doubly degenerate equation with Robin boundary conditions.Under some restrictive conditions on the data,we derive the lower bound for the blow-up time if the blow-up occurs and establish conditions on data sufficient to guarantee that solution u(x,t) exists for all time.Last,we derive the supper bound for the blow-up time with Neumann boundary conditions.

blow-up; global existence; boundary conditions;a doubly degenerate equation

2016-04-01

国家自然科学基金项目(11371175)；广东省教育厅科研基金项目(2013LYM_0112)

丁丹平(1965—),男，江苏 丹阳人，博士，教授.E-mail:ddp@ujs.edu.cn

O175

A

1000-5900(2016)04-0001-05