彭 程

(华北科技学院 电子信息工程学院，北京 东燕郊 101601)



平面并联机构正解的拥挤差分进化算法求解

彭 程

(华北科技学院 电子信息工程学院，北京 东燕郊 101601)

平面并联机构正运动学分析需要求解非线性方程组，多解的特点使得难以同时得到它的全部解。本文将该非线性方程组求解问题转化为非线性优化问题，并利用拥挤差分进化算法进行求解。仿真结果表明，拥挤差分进化算法对选择机制的改进增加了种群的多样性，可以同时得到并联机构运动学正解问题的全部解。

并联机构；正解；差分进化；多模态优化

0 引言

并联机构的正运动学问题可以表示为非线性方程组的求根问题，通常难以直接求解。刘惠林等[1]、罗佑新[2]利用吴方法得到3-RPR并联机构封闭形式的解，然后再进行数值求解。张忠海等[3]采用共形几何代数方法建立3-RPR平面并联机构正解的数学模型，进而利用结式消元法求解。刘芳华等[4]推导了6-UPS并联机构的简化模型，并利用Mathematica软件和牛顿迭代法进行求解。这些方法需要进行较为复杂的数学推导，不易实现。

近年来，利用智能算法进行并联机构的正运动学分析成为一个重要的研究方向。神经网络[5,6]、遗传算法[7]、粒子群优化[8]、人工蜂群算法[9]、蚁群算法[10]、鱼群算法[11]等算法都已被用于求解并联机构的正解问题。采用智能算法可以避免复杂的公式推导，方法具有通用性，但是通常只能得到一组解。实际上并联机构正解问题通常是多解的，例如3-RPR平面并联机构的正解问题最多有六组解[1]。本文将3-RPR平面并联机构的正解问题转化为非线性优化问题，然后利用拥挤差分进化算法[12]求解，并用数值算例进行了验证。

1 问题描述

考虑图1所示的3-RPR平面并联机构。刚体B1B2B3通过三根连杆与固定铰支座A1、A2、A3连接。改变三根连杆的长度，可以改变刚体的B1B2B3的位姿。

图1 3-RPR平面并联机构示意图

(1)

(2)

由式(2)可知，平面并联机构的正解问题实质上是求解关于自变量xP、yP和θ的非线性方程组

(3)

这里将该非线性方程求根问题转化为非线性最优化问题，目标函数由式(4)给出：

(4)

其中X=[xPyPθ]，Uj和Lj分别是X的第j个分量Xj的上界和下界。

2 差分进化算法

2.1 基本差分进化算法

基本差分进化算法由Storn等人[13]提出，是一类基于种群的智能优化算法，其基本操作包括变异、交叉和选择。

(1) 变异操作

设种群大小为NP，第g代种群中的个体为Xi,i=1,2,…,NP。则对第i个个体Xi，变异操作产生新个体Vi=[Vi1,Vi2,Vi3]，其第j个分量：

Vij=Xr1,j+F·(Xr2,j-Xr3,j)，j=1,2,3

(5)

其中r1,r2,r3∈{1，2，…,NP}，是互不相等的随机整数，并且都不等于i，F∈[0,2]是一常值比例因子。

式(5)得到的Vij有可能不符合参数取值范围的要求，为此在式(5)的基础上将其修正为：

(6)

其中α是[0,1]区间内符合均匀分布的随机数。

(2) 交叉操作

将变异操作得到的Vi与Xi进行交叉操作，得到新个体Wi=[Wi1,Wi2,Wi3]，其第j个分量：

(7)

其中r4是[0,1]区间内符合均匀分布的随机数，CR是交叉概率，r5∈{1，2，…,NP}，是一个随机整数。

(3) 选择操作

基本差分进化算法采用贪婪选择方式，即若交叉操作得到的新个体Wi优于原个体Xi，则第g+1代种群中第i个个体取Wi，否则保留Xi。

2.2 拥挤差分进化算法

基本差分进化算法采用贪婪选择方式，随着算法的运行，种群的多样性会变差，用其求解式(4)给出的平面并联机构正解问题，每次通常只能得到一组最优解。为此，本文实现了拥挤差分进化算法[12]。该算法与基本差分进化算法的区别在于进行选择操作的时候，不是对Wi和Xi进行贪婪选择，而是首先找到当前种群中与Wi欧式距离最近的个体(设为Xk)，然后对Wi和Xk进行贪婪选择。

综上所述，求解平面并联机构正解问题的算法流程如下：

① 设定算法参数，包括种群大小NP，最大进化代数G，交叉概率CR，比例因子F。

② 采用随机方式生成初始种群，根据式(4)计算初始种群中每个个体对应的目标函数值，令进化代数g=1。

③ 若g≥G，转⑨，否则令i=1。

④ 利用式(5)、(6)进行变异操作得到个体Vi。

⑤ 利用式(7)进行交叉操作得到个体Wi。

⑥ 计算Wi与当前种群中每个个体的欧式距离，找到与Wi距离最近的个体Xk。若J(Wi)

⑦ 令i=i+1，若i≤NP返回④。

⑧ 令g=g+1，返回③。

⑨ 输出当前种群。

3 数值算例

待优化未知参数的取值范围分别为xp∈[-80,80]，yp∈[-80,80]，θ∈[-180o,180o]。

差分进化算法参数：种群大小NP=100，最大进化代数G=10000，交叉概率CR=0.9，比例因子F=0.5。为了进行比较，一次基本差分进化优化和一次拥挤差分进化优化得到的结果分别见图2和图3。比较两幅图可知，基本差分进化算法只得到了一组解；拥挤差分进化算法能够同时得到六组解，六组解各自最好的结果及其精度见表1。

图2 一次基本差分进化优化得到的解

图3 一次拥挤差分进化优化得到的解

表1 一次拥挤差分进化优化得到的六组解及其精度

为了进一步考察拥挤差分进化算法的性能，重复进行50次优化，统计得到的每一组解对应的目标函数J小于一定值的次数，得到的结果见表2。从表中可以知道，在使用前述参数的情况下，第1、2、3、4组解基本都能达到10-6精度；第5、6组解较难达到10-6精度，但是基本能够达到10-3精度。表2的结果表明拥挤差分进化算法不但能够保持种群的多样性，而且具有较高的精度。

表2 50次拥挤差分进化精度统计表

编号123456J<10-6505049501825J<10-3505050504948

4 结论

平面并联机构运动学正解问题通常存在多组解，普通智能优化算法难以同时得到全部解。通过对选择机制的改进，择拥挤差分进化算法增强了种群的多样性，适用于平面并联机构正解这类多模态优化问题。从数值算例的结果可知，一次优化可以得到并联机构正解问题的全部解。

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Forward Kinematics Solutions of the Planar Parallel Mechanism Using Crowding Differential Evolution Algorithm

PENG Cheng

(SchoolofElectronicandInformationEngineering,NorthChinaInstituteofScienceandTechnology,Yanjiao, 101601,China)

It is difficult to solve the nonlinear simultaneous equations associated with the direct analysis of parallel mechanism because multiple solutions may exist. The forward kinematics problem is reduced to a nonlinear optimization problem. The crowding differential evolution algorithm is used to obtain the solutions of the nonlinear optimization problem. Numerical simulations show that all the forward kinematics solutions of the planar parallel mechanism are obtained simultaneously because high diversity can be maintained by modifying the selection scheme.

parallel mechanism; forward kinematics; differential evolution; multimodal optimization

2016-02-28

中央高校基本科研业务费资助 (3142015013)

彭程(1978-)，男，山东临沂人，博士，华北科技学院电子信息工程学院高级工程师，研究方向:系统辨识、自适应控制、鲁棒控制、智能计算，E-mail：pengc@ustc.edu.cn

TH112

A

1672-7169(2016)02-0094-04