杜厚维,陈忠　(长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)



一类含扰动因子的积分和结构的极限研究

杜厚维,陈忠(长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

[摘要]针对一类因含扰动项而不满足积分和标准形式的极限问题, 对扰动项有界和无界的情况进行了归纳。无界扰动的情况下，当扰动项趋于无穷的速度快慢不同时，扰动项对整个结果的影响也不同。首先利用夹逼原理对扰动项进行放缩，将扰动项放缩成与求和对象i无关的结构，从而把求和的部分凑成积分和因子与一个跟求和对象i无关因式的乘积，再将与求和对象i无关的因式置于求和符号外, 然后基于乘积的极限运算法则和定积分定义求解经处理后的极限问题。对扰动项趋于无穷的速度与nα进行比较，分别给出了α<1和α>1 这2种情况下的结果，该结果为处理该类问题的一般性结论。最后通过算例说明该方法的有效性。

[关键词]极限; 夹逼定理; 积分和; 定积分

记:

1夹逼定理

引理1[1~5](夹逼定理) 若数列{xn},{yn},{zn}满足：

1) ∃n0∈N，当n>n0时，有yn≤xn≤zn;

2主要结论

定理1函数f(x)，g(n,i)满足：

1)f(x)在区间[0,1]可积，且f(x)≥0(或f(x)≤0);

2)∃α<1,c1,c2>0,s.t.-c1nα≤g(n,i)≤c2nα，i=1,2,…,n。

则：

证明以f(x)≥0为例证明。由第2个条件知：

由f(x)≥0有：

又f(x)在区间[0,1]可积，则：

由引理2知：

定理2函数f(x)，g(n,i)满足：

1)f(x)在区间[0,1]可积，且f(x)≥0;

2)∃α>1,c>0,g(n,i)≥cnα(或g(n,i)≤-cnα),i=1,2,…,n。

则：

证明以g(n,i)≤cnα为例证明。由第2个条件知：

由f(x)≥0有：

又f(x)在区间[0,1]可积，则:

由引理2知：

3算例

解令f(x)=xex;g(n,i)=n2i≥n2,i=1,2,…,n。由定理2知：

4结语

对含扰动项不满足积分和标准形式的求极限问题，当扰动项有界时，为定理1的特例，当扰动项无界时，定理1、定理2给出了无界扰动的普遍性结论，计算实例说明了该方法的有效性。