王　庆

(苏州市职业大学数理部, 江苏苏州215104)



二次曲线垂直切线的研究

王庆

(苏州市职业大学数理部, 江苏苏州215104)

[摘要]用解析几何与射影几何的方法讨论二次曲线垂直切线交点的轨迹,重新证明了:椭圆、双曲线垂直切线交点的轨迹是圆;抛物线垂直切线的交点在准线上,且切点的连线过焦点.

[关键词]二次曲线; 射影几何; 切线

探讨平面二次曲线相互垂直切线交点的轨迹是平面解析几何的一个经典问题.文献[1] p.169 题291提出椭圆的互成直角的切线的交点轨迹是一个圆(Jes.1884).本文首先用解析几何与射影几何的方法对这一结果给出详细证明. 其次还利用射影几何的方法研究了双曲线及抛物线互成直角的切线的交点轨迹.

证法一首先用解析几何的方法讨论.

设切点是P(x1,y1)，P′(x2,y2)，则有

同理可得

直线AP，AP′成直角的条件是

(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)

这证明椭圆相互垂直的切线的交点在圆：x2+y2=a2+b2上.

下面用射影几何的方法证明，证明的过程也给出许多几何信息.所谓射影几何的方法是把欧氏平面上的几何问题看作拓广平面上的问题，用射影几何的定理性质来解决.把欧氏平面平行的直线看做交于无穷远点，而所有无穷远点构成一条无穷远直线，可以得到拓广欧氏平面，拓广平面可以等同于射影平面.本文讨论中所用射影几何的概念性质可见文献[2].

图1

证法二设ABCD是椭圆的外切矩形，P，P′分别是AB，AD上切点.由文献[2] p.186 题8，它的对角线是一对共轭直径，交点O是椭圆的中心.设线段AO交PP′与椭圆于E，T，利……