岳　靖， 刘　红

(安徽理工大学，安徽 淮南 232001)



分块矩阵及其相关应用

岳靖， 刘红

(安徽理工大学，安徽 淮南 232001)

摘要：介绍了分块矩阵的概念及性质, 讨论了分块矩阵在矩阵的求逆，在某些有关矩阵的计算和证明问题中的应用。最后给出了分块矩阵的一般性结论。

关键词：分块矩阵；矩阵的逆；矩阵的秩

0引言

分块矩阵是处理矩阵的一种重要的方法，其中有许多技巧在一些计算和证明的问题中都是非常有用的，比如在高阶行列式的计算，求矩阵的逆矩阵、求矩阵的特征值等一些问题都可以利用分块矩阵使得计算简化，尤其是某些结论的证明中如果能将所讨论的矩阵作适当的分块，就可以使其变得更加清晰明快。所以，对分块矩阵有关技巧进行深入总结和分析是个非常有意义的事情。本文主要介绍了分块矩阵的概念和一些重要性质，以及分块矩阵的几个综合应用。

1矩阵分块

1.1分块矩阵的定义与基本运算

定义1 将矩阵分成若干小矩阵，每个小矩阵称为原矩阵的子块，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵。

分块矩阵的运算在形式上和数字矩阵的运算一样，只要进行运算的矩阵的分块适当，分块矩阵有类似于普通矩阵的运算法则,矩阵分块的方法很多，究竟采用什么样的分块方法，需要根据问题进行适当的选取。

分块矩阵的加法：设A,B都是m×n矩阵，并且对A,B用同样的方法进行分块：

其中每个Aij,Bij都是mi×nj小矩阵，即Aij,Bij是同型矩阵，则：

不难验证这个分块矩阵作为数字矩阵恰为A+B。 应注意的是利用分块法对两个同型矩阵进行加法运算时，两个矩阵必须采用相同的分块法(即行的分法完全一致,列的分法也完全一致),这样才能保证每个位置上对应的块都是同型的。

分块矩阵的数量乘法：

分块矩阵的乘法：设A,B为同级矩阵,并且A的列的分法与B的行的分法相同，也就是说对于每个k,Aik的列数与Bkj的行数相同。

定义A,B的乘积为：

分块矩阵的乘法类似于矩阵的乘法,应该特别注意：矩阵A的列分法必须与矩阵B的行分法一致。

分块矩阵的转置：对于一有rs块的分块矩阵

值得注意的是：转置时，每一个小块也要转置，并且它的位置也要行列对调(即行转化为列，列转化为行)。

1.2分块矩阵的初等变换

对分块矩阵实行以下三种变换，称为初等变换.(1)互换分块矩阵的某两行(列)；(2)用一个非奇异阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列)；(3)用一个非零阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列)加至另一行(列)上。

2分块矩阵的相关计算

2.1利用分块矩阵求逆矩阵

求一个矩阵的逆矩阵时，一般我们可以通过求其伴随矩阵和矩阵行列式来求得结果。但对一些矩阵，如果我们对其进行适当的分块，并利用一定的结论可以使问题更加轻松的得到解决。以下给出两个常用的结论：

利用初等变换来求分块矩阵的逆矩阵和利用初等变换求矩阵的逆矩阵，方法基本相同，所不同的是：

(1)对(A,In)中的子块In必须施行分块初等变换，使得A是一个分块单位矩阵；

(2) 把“子块作为元素”处理时，必须遵守左行右列的规则，即变行必须左乘，变列必须右乘。

下面介绍一些可逆分块矩阵的简单方法:

解:因为

所以

2.2矩阵的分块零化方法及其应用

引理1对分块矩阵施行一次分块初等行变换，相当于在这个矩阵左边乘以一个对应的分块初等矩阵；施行一次分块初等列变换相当于在这个矩阵右边乘以一个对应的分块初等矩阵。这里所说的对应的分块初等矩阵是指变化方式一致且分块方式能保障乘法有意义的分块初等矩阵。

推论1设矩阵A，D分别为r和n-r阶方阵，若A可逆，则有

推论2设A与D是同阶方阵,则A可逆时，

D可逆时，

推论3设A与D是同阶方阵，若A可逆，且AC=CA时，

3分块矩阵的相关证明

3.1惯性定理中唯一性的证明

惯性定理叙述：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的。下面我们利用分块矩阵来证明它的唯一性。

引理2设A为m×n实矩阵，则下式成立：r(ATA)=r(A)=r(AAT)。

因此

r(A)=r(ATA)

同理可得r(A)=r(AAT)，故r(A)=r(AAT)=r(ATA)。

现在我们用矩阵形式表述惯性定理中的唯一性，并加以证明。

证明：若有两个标准形

则它们之间合同，即存在非奇异矩Q使得

(1)

r(KTK)=r(GTG)=r(G)=s。

另一方面，r(KTK)≤r(K)≤p≤s,二者矛盾。同理s

3.2矩阵秩的分块不等式证明

定理1设A是数域P上n×m矩阵，B是数域P上m×s矩阵，则

秩(AB)≤min[秩(A)，秩(B)]。

证明该定理的方法很多，下面用分块矩阵的方法证明。

从这个式子很容易看出AB的行向量是B的行向量的线性组合，因而有秩(AB)≤秩(B);

秩(AB)≤min[秩(A)，秩(B)]。

下面我们证明Sylvester不等式(即下面的定理2). Sylvester不等式是关于矩阵秩的一个重要不等式。其证明方法也不唯一，而利用构造分块矩阵的方法来证明该不等式是最简单的方法之一，且思路会变得清晰明了，下面我们给出证明。

先给出下面3个基本事实，它们的证明可参看[1]。

引理1对矩阵进行初等变换不改变矩阵的秩。

引理2设A、B为任意两个矩阵，则有

引理3设向量组a1,a2,L,an的秩为r,在其中任取m个向量ak1,ak2,L,akm,，则向量组ak1,ak2,L,akm的秩≥r+m-n。

定理2设A、B分别是s×n，n×m矩阵，则Sylvester不等式成立，即

秩(AB)≥秩(A)+秩(B)-n

证明: 设r(A)=r1,r(B)=r2,则存在可逆矩阵P1,Q1,P2,Q2使

r(A)+r(B)-n≤r(AB)。

3.3证明有关矩阵秩的等式

例1设A是n×s实矩阵，求证秩(En-A′A)-秩(Es-AA′)=n-s。

故有秩(En-A′A)+s =秩(H)。即秩(Es-AA′)+n=秩(En-A′A)+s，所以秩(En-A′A)-秩(Es-AA′)=n-s。

在学习特征值、特征向量时，我们会经常讨论矩阵AB与BA之间的关系，通过对该等式我们知道AB与BA具有相同的特征多项式，从而我们会得到许多相关的性质，下面我们给出利用分块矩阵的证明，从而再次体会分块矩阵所起的巧妙作用。

例2设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，证明AB的特征多项式fAB(λ)与BA的特征多项式fBA(λ)有如下关系式：λnfAB(λ)=λmfBA(λ)

一方面，

(3)

另一方面，

(4)

将(3)(4)两式两边同时取行列式可得

例3(Frobenious不等式) 设A,B,C分别为m×n,n×s,s×1矩阵，

r(ABC)≥r(AB)+r(BC)-r(B)。

证明：上式变形为r(ABC)+r(BC)-r(B),而利用矩阵的一系列初等变换

如下所示：

所以

故 r(ABC)≥r(AB)+r(BC)-r(B)。

[参考文献]

[1] 王萼芳，石生明.高等代数 [M], 北京：高等教育出版社，2003.

[2] 丘维声.高等教育学习指导用书[M], 北京:清华大学出版社，2005.

[3] 陈公宁.矩阵理论与应用[M], 北京:北京科学出版社，2007.

[4] 秦小二.分块矩阵的几种用法[J].数学教学与研究,2007，41(2):68-69．

[5] 钱吉林.高等代数题解精粹 [M]，北京：中央民族大学出版社，2002.

[6] 徐天保.分块矩阵的应用[J]，安庆师范学院学报:自然科学版，2010，16(2):105-108．

[7] 李佳荣.高等代数的方法研究[M]，香港：香港亚太经济出版社，2001.

中图分类号：O177.5

文献标识码：A

文章编号：2095-0063(2015)06-0051-07

收稿日期：2015-09-27

作者简介：岳靖(1991-)，男，安徽淮南人，硕士研究生，从事矩阵及其应用研究。

DOI10.13356/j.cnki.jdnu.2095-0063.2015.06.013