岳　靖， 刘　红

(安徽理工大学，安徽 淮南 232001)



分块矩阵及其相关应用

岳靖， 刘红

(安徽理工大学，安徽 淮南 232001)

摘要：介绍了分块矩阵的概念及性质, 讨论了分块矩阵在矩阵的求逆，在某些有关矩阵的计算和证明问题中的应用。最后给出了分块矩阵的一般性结论。

关键词：分块矩阵；矩阵的逆；矩阵的秩

0引言

分块矩阵是处理矩阵的一种重要的方法，其中有许多技巧在一些计算和证明的问题中都是非常有用的，比如在高阶行列式的计算，求矩阵的逆矩阵、求矩阵的特征值等一些问题都可以利用分块矩阵使得计算简化，尤其是某些结论的证明中如果能将所讨论的矩阵作适当的分块，就可以使其变得更加清晰明快。所以，对分块矩阵有关技巧进行深入总结和分析是个非常有意义的事情。本文主要介绍了分块矩阵的概念和一些重要性质，以及分块矩阵的几个综合应用。

1矩阵分块

1.1分块矩阵的定义与基本运算

定义1 将矩阵分成若干小矩阵，每个小矩阵称为原矩阵的子块，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵。

分块矩阵的运算在形式上和数字矩阵的运算一样，只要进行运算的矩阵的分块适当，分块矩阵有类似于普通矩阵的运算法则,矩阵分块的方法很多，究竟采用什么样的分块方法，需要根据问题进行适当的选取。

分块矩阵的加法：设A,B都是m×n矩阵，并且对A,B用同样的方法进行分块：

其中每个Aij,Bij都是mi×nj小矩阵，即Aij,Bij是同型矩阵，则：

不难验证这个分块矩阵作为数字矩阵恰为A+B。……