孙建鹏，谭天宇，黄文锋

(1.西安建筑科技大学土木工程学院，陕西 西安 710055；2.合肥工业大学水利与土木工程学院，安徽 合肥 230009)

受压杆件是工程结构中常见的重要受力构件，被广泛的应用到土木工程领域中．例如桥梁工程中的桥墩，建筑结构工程中的柱子以及桁架结构中的受压杆件等．受压杆件由于较大的长细比，其稳定性能成为该类构件在受力分析时必须考虑的一个重要指标．受压杆件的静力稳定性问题已得到完善的解决[1-4]，一些学者对其动力稳定问题进行了一定的研究[5-10]．

传递矩阵法[11]因其力学概念清晰，涉及的系统矩阵阶次低，计算速度快等特点引起了科研工作者的青睐[12-15]．

而有关传递矩阵理论应用到结构动力稳定分析的文献至今未见报道．为了进一步扩展传递矩阵理论的应用领域，研究弹性压杆在冲击荷载作用下的稳定性能，在文献[4]的基础上，对冲击荷载作用下弹性压杆动力稳定分析的传递理论进行了推导，建立了分析受压杆件动力稳定分析的传递矩阵．通过算例分析，验证了所提理论及推导的传递矩阵的正确性．同时，对不同冲击荷载作用下的动力行为进行了分析研究．本文所提出的方法可以适用于任意形式的动力荷载，具有很好的适用性．

1 精细传递矩阵

此处以一简支的受压杆件为例进行阐述，其力学简图如图1所示．图中EI(x)为受压杆件的抗弯刚度，P(t)为墩顶受到的沿杆件轴向的冲击荷载，为受压杆件的单位长度的质量，w(x,t)为x处t时刻沿y方向的挠度，L为杆件的总长度．为了简化，此处忽略杆件的轴向惯性力．此时，受压杆件的动力稳定平衡方程为[16]

图1 受压杆件力学简图Fig.1 The model and mechanical diagram of bridge pier

根据受压杆件的弯曲平衡条件有以下关系式：

公式(2)两边对x进行求导得：

挠曲线的近似微分方程为

式中：w′′(x,t)为挠度w(x,t)对x的两阶导数，为t时刻x处的弯矩．

转角θ(x,t)与挠度w(x,t)的关系为

由于受压杆件上的剪力集度为惯性力，且存在以下关系：

结合公式(1)，式(6)可表示为

受压杆件x截面t时刻的状态向量为

将公式(3)-(5)和公式(7)表达成矩阵的形式为

根据文献[4]可以得到受压杆件j段两端的传递关系：

其中：jΓ为受压杆件j段的传递矩阵，为j段上下两端的状态向量．

图2 受压杆件离散分析模型Fig.2 Discrete system of column subjected to impact loads

结构的动力响应简化成离散结构进行计算分析同样可以得到满意得计算精度．受压杆件的离散分析模型如图2所示．

离散分析模型中包含两种单元，一种是没有质量的理想弹性梁单元，另一种是没有体积的集中质量体｡与之相对应的传递矩阵为无质量的场矩阵和没有体积的点矩阵

2 分步时间积分法

在进行动力时程分析时，需要在时域内对时间进行离散，通过数值积分获得下一时间点的状态向量．此处采用较为常用的Newmark-β法进行数值积分运算．

ti时刻的速度加速度可以表示成为ti时刻的挠度w(x,t)的线性函数如式(13)、式(14)所示：

ti-1时刻的位移加速度已知，则和也成为已知数．

3 总传递矩阵及求解流程

若受压杆件被划分为m个单元，且所有场矩阵和点矩阵都以后有如下表达式：

式中，Γ为总传递矩阵．

当总传递矩阵确定好之后，借助边界条件就可以求得ti时刻各离散单元两端的未知状态向量．

通过第二部分介绍的分布时间积分法可以进行下一时刻的状态向量计算，直至计算完成，其求解流程如图3所示．

图 3 求解流程图Fig. 3 Flow chart of algorithms for the proposed method

4 算例计算

某一受压杆件长度为L=8.0 m，截面面积为0.96 m2，抗弯惯性矩为：0.051 2 m4，其离散计算模型如图2所示，该杆件共离散为8个无质量的两单元和7个无体积的集中质量体单元，集中质量体的质量为：mj=2 592 kg（j=1，2，3，4，5，6，7）．杆件顶部受到的压力为P（t），其表达式为

当荷载持续时间较小时，P（t）为一般的正弦脉冲荷载，当荷载持续时间趋于无穷视为正弦周期荷载．限于偏幅，此处分析一般脉冲荷载作用下动力稳定性，探讨参数Pt持续时间t0和振动频率θ对动力稳定特征的影响．本文运用Matlab语言编辑了相应的计算分析程序，对该模型进行计算分析．

图4为不同Pt时的杆件动态响应，持续时间t0和振动频率θ分别为：0.314 s，10 rad；时间步长取0.001 s；图5为不同持续时间t0的杆件动态响应，此时峰值荷载Pt和振动频率θ分别为25 MN，10 rad；图6为不同振动频率θ对动力稳定特征的影响，此时峰值荷载Pt和荷载持续时间t0分别为10 MN，1.0 s．

图4 不同Pt 作用下跨中第 4 质量体的动态响应时程曲线Fig.4 The time history response curves of the fourth quality at midspan with variational Pt

从图4中可以看处，当自振频率为10 rad，荷载持续时间为0.314 s时，峰值荷载的大小对受压杆件的动态响应具有一定的影响．峰值荷载较小时对受压杆件的影响较小，结构振动不会发生实质性的变化既不会出现失稳现象．随着荷载峰值的增加脉冲荷载对结构的影响逐渐变大，当荷载达到某一值时将引起结构振动发生本质变化即失稳现象，如图中Pt=2 MN．失稳荷载可以根据结构振动的位移特征来确定，即荷载达到某值结构出现违反未加轴向荷载时振动规律的现象时认为发生了失稳现象，此时的荷载为动力失稳荷载．本算例的动力失稳荷载为：1.552 5MN．

图5 不同t0时跨中第4 质量体的动态响应时程曲线Fig.5 The time history response curves of the fourth quality at midspan with variational t0

从图5可以看处，当峰值荷载为25 MN，自振频率为10 rad时，荷载持续时间的大小对受压杆件的动态响应具有一定的影响．由于和在峰值大于动力失稳荷载所以只要持续时间大于T/4，结构就会有明显的振动实质性变化，随着持续时间的延长这种现象将以规律性（周期性）出现（如图4(b)、图5(b)所示），且动力失稳荷载为同一值： 15.525 MN．这为发现和确定动力失稳荷载提供了一条新的途径和办法．

从图6可以看处，当峰值荷载Pt=10 MN，载持续时间为4.0 s时，荷载振动频率的大小对受压杆件的动态响应具有一定的影响．随着荷载频率的增加结构的振动逐渐出现了“节拍”的现象，而且“节拍”个数逐渐减小，而节拍的幅值逐渐增大，当合为半个“节拍”时随着荷载的持续施加振幅将持续增大不再收敛，这与结构受迫振动的现象是一致的．这一现象表明，受压构件的振动稳定承载力与外部荷载的振动频率有关，当外部荷载的振动频率接近于结构的自振频率将降低结构的动力稳定性，即动力稳定承载力将降低．

图6 不同θ 时跨中第4 质量体的动态响应时程曲线Fig.6 The time history response curves of the fourth quality at midspan with variational θ

5 结论

通过本文的研究工作得出以下结论：

（1）建立了受压杆件动力稳定分析的传递矩阵；完善了传递矩阵的稳定分析理论．

（2）算例验证了本文所提理论及推导传递矩阵的正确性，为结构的动力稳定性判别提供了一条新的方法和思路．

（3）分析结果表明，结构的动力稳定分析比静力稳定分析复杂的多；受压杆件在轴向荷载作用下呈现受迫振动的特点．

（4）结构动力稳定承载力的大小与动力荷载的振动特性有关．振动荷载的频率越接近结构的自振频率，结构的动力稳定承载力越低．

因此，在确定承受动荷载的结构稳定承载力时，要进行动态响应分析，通过结构的动态特点分析其是否稳定．

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