王　坤，王　丹，张　蕊

(燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004)

多时变时滞不确定系统的鲁棒稳定性

王坤，王丹，张蕊

(燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004)

摘要：研究了一类不确定多时变时滞系统的鲁棒稳定性问题。通过选取适当的Lyapunov函数，利用Jensen不等式和Schur引理，推导出了此类多时变时滞广义系统渐进稳定的充分条件。最后，通过线性矩阵不等式(LMI)工具箱进行了数值仿真，验证了该方法的可行性和有效性。

关键词：多时变时滞；不确定性；广义系统；渐进稳定

基金项目：国家自然科学基金项目(60934003)

作者简介：王坤(1960-),男,河北秦皇岛人,教授,博士,主要从事非线性系统方面的研究.

收稿日期：2014-04-02

文章编号：1672-6871(2015)02-0060-05

中图分类号：TP273

文献标志码：标志码：A

0引言

不确定性和时滞性在实际系统中是普遍存在的[1-2]，也是导致系统不稳定和性能指标下降的主要原因，所以对不确定时滞系统的研究是非常必要的。广义系统相对于其他系统更能准确地描述实际动态系统并且广泛出现在现代工程系统中，因此，近些年对于不确定广义系统的研究引起了众多国内外学者的关注[3-6]。文献[4]针对一类具有范数有界不确定性和多状态滞后的广义系统，研究了存在摄动时，系统的非脆弱H∞保性能控制。文献[7]针对一类李普希茨非线性时滞系统，提出了一种基于线性矩阵不等式设计状态观测器的方法。文献[8]研究了时滞是多个的一类系统的H∞反馈控制问题。文献[9]考虑了同时具有多重时滞和非线性扰动项时，系统的鲁棒预测控制器的设计方法。文献[10]讨论了同时带有输入时滞和状态时滞的线性不确定系统，研究了此类系统在自适应控制器作用下渐进稳定的条件。

本文基于Lyapunov稳定性理论以及已有文献的研究成果，利用Jensen不等式和Schur引理，分别研究了确定性多时变时滞和不确定多时变时滞广义系统的鲁棒稳定性问题。

1系统描述及引理

考虑下面不确定多时变时滞系统：

(1)

[△A(t)△Ai(t)]=E1F(t)[HHi]，i=1,…,k，

(2)

式中：E1、Hi分别为已知的常矩阵；F(t)为时变的不确定矩阵，满足FT(t)F(t)≤I。

为简单起见，记f(t):=f(t,x(t),x(t-τ1(t)),…,x(t-τk(t)))，并且f(t)满足：

(3)

式中，G为给定的常矩阵。

引理1x和y分别为n维的实列向量，λ为不为0的实数，则有：

2xTy≤λ-1xTx+λyTy。

引理2已知Y为对称矩阵，D和E是已知的常矩阵，且FTF≤I，则Y+DFE+ETFTDT<0成立的充分必要条件为Y+εDDT+ε-1ETE<0成立，其中ε>0。

(Ⅰ)S<0。

2主要结果

首先研究闭环系统(1)的不确定项△A,△Ai(i=1,…,k)为0，即

(4)

的鲁棒渐进稳定性。

定理1对于给定的正数γ>0，若能找到正定矩阵Ri>0(i=1,…,k)和可逆矩阵P有下面的不等式成立：

ETP=PTE≥0；

(5)

(6)

则系统(4)是渐进稳定的。

证明先证系统在无干扰作用下的渐进稳定性。

构造Lyapunov函数：

应用Jensen不等式，将Lyapunov函数沿着闭环系统(4)两端对t求导，得：

(1-η1)xT(t-d1(t))R1x(t-d1(t))+…+

xT(t)Rkx(t)-(1-ηk)xT(t-dk(t))Rkx(t-dk(t))≤

(7)

由引理1可知：

f T(t)Px(t)+xT(t)PTf(t)=2f T(t)Px(t)≤f T(t)f(t)+xT(t)PTPx(t)。

(8)

f T(t)f(t)≤xT(t)GTGx(t)。

(9)

将式(8)和式(9)代入式(7)中，令

其中，ξT(t)=[xT(t) xT(t-d1(t)) … xT(t-dk(t))]。

由矩阵不等式和Schur引理有：

定理1只是给出了当不确定项为0时，系统(1)渐进稳定的充分条件，而这只是一个特殊的情况。对于一般情况(即不确定项不为0时)，应用定理1中的不等式求解会很困难，故下面的定理2给出了定理1的等价结论，并且可以利用线性矩阵不等式(LMI)工具箱求解。

定理2对于多时变时滞广义系统(1)，如果存在实数εi>0 (i=1,…,k),矩阵Ri>0 (i=1,…,k)和可逆矩阵X，有下面的不等式成立：

ETX-1=X-TE≥0 ;

(10)

(11)

其中：

则系统(1)是渐进稳定的。

证明当不确定项不为0时，用A+△A，Ai+△Ai(i=1,…,k)分别代替式(6)中的A,Ai，经过整理，令

其中：

Ω2=△ATP+PT△A。

所以式(6)可以等价变形为：

Y+Y1<0。

(12)

式(12)可以写成：

(13)

应用引理2，式(13)等价于下面的不等式：

(14)

其中，

利用引理3，式(13)等价于：

(15)

其中,

用矩阵diag[P-TI … I]和矩阵diag[P-1I … I]分别左乘和右乘式(14)，令X=P-1，代入到式(5)中，于是便可以得到式(10)和式(11)，故定理2得证。

3仿真实例

例1考虑多时变时滞系统(4)，以i=1,2为例，设定参数如下:

给定η1=0.8,η2=0.72,根据给定的参数以及定理1，利用LMI工具箱中的Feasp求解器进行求解，可知本文中的线性矩阵不等式是可行的，并且得到一个可行解：

例2考虑多时变时滞系统(1)，以i=1为例，设定参数如下:

给定ε=0.6，η1=0.72，根据给定参数以及定理2，利用Matlab中LMI工具箱求解，得到：

图1　系统状态响应图

数据仿真结果如图1所示，仿真结果表明所研究的系统是渐进稳定的。

4结束语

本文研究了不确定多时变时滞广义系统的渐进稳定性问题，通过选取适当的Lyapunov函数，结合Lyapunov稳定性理论，得到了使得此类系统渐进稳定的充分条件；最后利用数值算例及图形仿真验证了该方法的有效性。但是，多时变时滞广义系统的鲁棒问题涉及的领域很多，包含的内容很广，本文在先前发表的研究成果上，增加了多时变时滞项，使得此系统更加具有普遍性。在此后的研究中，可以在本文的基础上，设计一个适当形式的无记忆状态反馈控制器，并且通过证明给出控制器的一般形式。

参考文献：

[1]Li Q,Zhang Q,Yi N,et al.Robust Passive Control for Uncertain Time-delay Singular Systems[J].IEEE Trans Circuits Syst I:Fundam Theory Appl,2009,56(3):653-663.

[2]Jeong S C,Park P G.Constrained MPC Algorithm for Uncertain Time-varying Systems with State-delay[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2005,50(2):257-263.

[3]Tang S,Meng B,Gao C.Delay-dependent Robust Passive Control for Discrete Singular Systems with Multiple Time-delays[J].Advanced Materials Research,2012,433:4284-4290.

[4]Zhu S,Zhang C,Cheng Z.Delay-dependent Robust Stability Criteria for Two Classes of Uncertain Singular Time-delay Systems[J].IEE Transactions on Automatic Control,2007,52(5):880-885.

[5]平续斌,丁宝苍,韩崇昭.动态输出反馈鲁棒模型预测控制[J].自动化学报,2012,38(1):31-37.

[6]杨国诗,何德峰,薛美盛.基于鲁棒控制Lyapunov函数的非线性预测控制[J].控制与决策,2010,25(11):1752-1756.

[7]蒋建虎,宋丽君,宋书中.一类不确定非线性时滞系统的观测器设计[J].河南科技大学学报:自然科学版,2012,33(1):32-36.

[8]陈峤郴,邵克勇.多时滞不确定系统的H∞反馈控制[J].控制理论与应用,2013,32(4):6-9.

[9]苏成立,赵家程,李平.一类具有非线性扰动的多重时滞不确定系统鲁棒预测控制[J].自动化学报,2013,39(5):644-649.

[10]候晓丽,邵诚.具有输入时滞的不确定系统鲁棒自适应控制[J].河南科技大学学报:自然科学版,2013,34(4):57-60.