楼文娟,钟振宇

(1. 浙江大学建筑工程学院，杭州　310058; 2.浙江工业职业技术学院，浙江绍兴　312000)

第一作者楼文娟女，博士，教授，博导，1963年生

计入风重耦合效应超高层建筑风振响应计算方法

楼文娟1,钟振宇1,2

(1. 浙江大学建筑工程学院，杭州310058; 2.浙江工业职业技术学院，浙江绍兴312000)

摘要：风重耦合效应是指高耸结构侧向变形受到风和重力共同影响而引起结构动力特性发生变化的现象。为了研究风重耦合效应的作用机理，建立了结构几何非线性动力方程。对于顺风向风振，可以将方程分解为平均风作用下方程和脉动风作用下方程，脉动方程是非线性方程，其系数与平均风作用下结构位于相关。利用等效线性法可以将脉动方程转化为线性方程求解，最后通过随机振动理论获得结构响应解。计算结果表明：结构重刚比是影响风重耦合效应最重要的因素，顺风向脉动风产生的结构顶部的位移、速度、加速度响应以及底部弯矩响应变化量随着重刚比增大而增大，而对底部剪力响应没有影响。

关键词：超高层建筑; 风重耦合效应; 非线性振动；风振

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51378468)

收稿日期：2013-08-26修改稿收到日期：2014-06-03

通信作者钟振宇男，博士生，1970年生

中图分类号:TU312

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.11.031

Abstract:Wind-gravity coupled effect(WGCE) is a phenomenon that dynamic characters of tall and slender structures are affected by both wind and gravity. In order to study the action mechanism of WGCE, the geometric nonlinear dynamic equation of a tall structure was built. The dynamic equation under load along wind could be divided into a equation under average wind load and the other one under pulse wind load. The latter was a nonlinear equation whose parameters were relative to the structural displacements calculated under average wind. The equation under pulse wind could be converted into a linear ont to be solved with the equivalent linearization method. The results showed that gravity-rigidity ratio is an important factor on WGCE; the displacement, velocity, acceleration on the top of the structure, and the moment at the bottom of the structure increase with increase in gravity-rigidity ratio while the shear at the bottom of the structure does not change.

Computing method for wind-induced vibration response of extra-high buildings based on wind-gravity coupled effect

LOUWen-juan1,ZHONGZhen-yu1,2(1. College Of Civil Engineering And Architecture, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China;2. Zhejiang Vocational Polytechnic College, Shaoxing 312000,China)

Key words:extra-high buildings; wind-gravity coupled effect(WGCE); non-linear vibration; wind-induced vibration

当今超高层建筑发展迅速，给结构设计提出了很多新课题,其中一个就是风重耦合效应(Wind-Gravity Coupling Effect，WGCE)。它指高耸结构在风荷载作用下产生横向位移，由于重力存在，加大了弯矩，从而使横向位移进一步加大，这种现象的存在改变了结构的动力特性，使超高层建筑在脉动风作用下响应发生了变化。

高层建筑在抗震设计中是否需要考虑重力二阶效应已经纳入结构设计规范，我国不少规范对此有详细的规定[1-3]。规范中重刚比(建筑物重量和高度平方的乘积和与弯曲刚度之比)是反映高层建筑刚度的一个重要指标，规范规定以弯曲变形为主的高层结构重刚比>0.370时要在计算时考虑重力二阶效应，>0.714时会产生稳定问题而不被允许。

尽管《高程建筑混凝土结构技术规程》重力二阶效应的规定非特指地震荷载，但对风荷载的问题无特殊说明。在众多的文献中，重力二阶效应一般指在地震作用下高耸结构P-Δ效应。 在风和重力对结构的作用方面，国内文献[4]对风荷载和重力荷载共同作用的问题做了最简单的分析。

在超高层建筑实际工程中，风重耦合效应十分显著。例如陆天天等对上海中心大厦进行了P-Δ效应计算[5]，风荷载作用下楼层侧向位移增幅达8.4%，倾覆力矩增幅达8.66%；而多遇地震作用下楼层侧向位移增幅为7.16%，倾覆力矩增幅仅4.61%，此工程中风重耦合效应大于多遇地震P-Δ效应。

事实上结构在动力作用下会产生许多新的特征，因此必须用随机振动方法来分析风重耦合的问题。风重耦合效应可以用现行有限元软件进行时程计算，但是软件无法计算随机风荷载作用下结构响应统计量值，因此获得风振耦合效应下的结构风振响应计算方法十分重要。同时风重耦效应研究内容广泛，鉴于篇幅关系，本文内容聚焦在超高层建筑顺风向风重耦合效应计算方法构建上，其他部分将在另文中给出。

1基本假设

超高层建筑在风荷载和重力耦合作用下影响因素较多，作用机理比较复杂，为了突出主要问题，本文公式推导建立在以下假设的基础上：

(1)在风重耦合作用下，结构产生的变形是弹性变形，且是弱非线性变形；

(2)只考虑结构的抖振，不考虑气弹效应；

(3)建筑结构只考虑层间结构变形，且不考虑楼层平面内变形。

(4)不考虑结构轴向压缩变形；

(5)只考虑结构发生弯曲变形，不考虑剪切变形。

2方程推导

大部分高层建筑可以简化为一个悬臂梁,这个悬臂梁受到横向水平力和重力的作用，产生的变形主要是弯曲变形。假设这悬臂梁在高度z处的水平位移为u，线密度为m(z), 弯曲刚度为Kb(z), 截面面积为A(z), 单位长度转动惯量为J(z)由弯曲引起的转角为θ， 其参数和结构受力情况见图1。

图1　悬臂梁微元受力分析图Fig.1 Schematic diagram of element acted by forces

由于结构发生大变形时，结构的变形与其位置相关，为了简便表示结构的位置变化，这里采用动态坐标系，即以结构主体轴线和水平向位移为坐标，这样质点的水平位移可以用下式表示：

u=u(s,t)

(1)

式中:s为悬臂梁上某点到O点杆子轴线长度，u为该点到Y轴的距离。

下面从几何关系、物理关系和平衡方程来推导悬臂结构大变形动力方程。

1)几何关系：

(1)杆件转角变形与水平位移有如下关系：

(2)

(3)

(2)杆件上质点竖向位移可以根据轴向无压缩变形得到竖向变形公式：

(4)

式(4)对时间求导得到速度和加速度：

(5)

(6)

2)物理关系：

材料力学中转角变形和弯矩之间有一下关系：

(7)

3)平衡方程：

参照图1，取一微元分别对水平向、竖直向和转动向建立运动方程。

(1)x方向力的平衡方程：

(8a)

(2)y方向力的平衡方程：

(8b)

(3)弯矩平衡方程：

(8c)

对上述方程进行处理，并略去转动惯量，对于上下均匀结构可得：

其中非线性项：

(10)

将式(9)进一步转换成差分代数方程，将计算结果与商品有限元软件计算结果对比，两者基本一致，证明上述方程的正确性。

3方程随机响应解

式(9)是一个复杂的非线性微分方程，由于弱非线性振动不存在分岔、跳跃等非线性本质现象，等效线性法是简易有效的方法[6]。Lutes[7]提出等效线性法，将有稳态解的非线性方程来等效模拟白超声激励的系统，通过两者之差的均方值最小，求得随机方程的解。其后Caughey等[8-10,12]等做了相关的工作。

等效线性法是将非线性振动体系近似地用等效线性振动体系代替，然后按线性方程求解。等效线性体系的刚度系数和阻尼系数，可以根据振动一个周期内所消耗的能量相等条件求得。

本文的思路是将式(9)略去非线性项以后进行分解，求得振型和频率，然后对式(9)进行线性解耦，得到每一阶方程，再将这些方程等效线性化后，按照随机振动理论，求出振动响应值。

3.1方程解耦

求解弱非线性方差，可以认为其解接近于以下线性方程：

(11)

假设上述方程的第i阶频率为ωi，振型为φi(s)，这样对方程的解可以写为：

(12)

将式(12)作为近似解代入脉动方程,再左乘φ1沿全长积分，并利用正交关系可得：

(13)

式(13)中各系数为：

1阶广义刚度

上式中φ为一阶振型。值得注意是上式已经对各非线性项做了简化处理，略去了影响不大的量。同时从系数中可以看出脉动方程解与平均风作用下结构位移有着密切的关联。

3.2方程线性化

式(13)为非线性方程，利用等效线性法求解上式，体系质量和刚度对应的惯性力和恢复力在一个周期内所消耗能量相等，并把一个周期内运动近似作为简谐振动。通过计算可以得到式(13)的线性等代方程：

(14)

式中:A为振动幅值，由此可以得到计入风重耦合效应的一阶圆频率：

(15)

式(15)清楚表明，在重力和结构非线性效应下结构基频会减小，而且减小幅度与平均风荷载作用下水平位移以及脉动风作用下最大水平位移有关。振幅A为随机变量，因此质量、刚度和频率也为随机变量，统计意义上的等价线性刚度为：

等效质量为：

根据随机过程的极值理论，幅值A服从Rayleigh分布：

(16)

式中σug为计入风重耦合效应后位移的方差。将式(16)代入等效刚度和等效质量表达式，积分后可以得到：

(17)

(18)

同样可以得到等效线性结构基频：

(19)

式(17)和式(18)均与位移的均方差有关，下面求解位移响应。

3.4结构风振响应

实际工程中结构要考虑到结构的阻尼，式(14)可以进一步写为:

(20)

简化得：

(21)

式中：

求解上述方程可得到传递函数，进一步得到第一振型的位移解：

(22)

(23)

获得第一振型解以后，可以通过下式方便获得其他振型的解：

(24)

从上述方程可知，风重耦合效应对高阶固有频率对几乎没影响，但广义位移有影响。求解上述方程需要求得右侧项的功率谱密度函数。根据随机振动理论，力项、位移项、速度项的交叉项很小可以忽略[15]，因此功率谱函数可以表示为：

j=2,3,4,…

(25)

于是可以求得结构响应方差：

(26)

由于结构高阶响应所占的比例很小，利用式(22) 求的一阶结构响应可以满足工程精度要求。

4算例

利用以上计算方法可以对一栋的高层建筑进行顺风向等效静力风荷载重力耦合计算。为了有效分析主要参数影响，下面的计算以一栋高300 m的100层建筑为例，每个楼层的质量中心与弯曲刚度中心重合，具体计算参数如表1。

表1　结构参数

近地面10 m处平均风速为20 m/s，地面类别为B类。以下计算参数变化均采用以上参数为基点。

图2～图5为是结构响应图。图中纵坐标为结构响应量，横坐标为重刚比。图中可以看到随着重刚比增大，两条曲线逐渐分开，也就是说风重耦合效应随重刚比增大，而且呈现加速增大趋势。同时这四者的变化是有差异的，风重耦合效应对顶部位移和底部弯矩响应影响较大。图5是底部剪力响应，可以看到两条曲线几乎叠在一起，也就说两者一样，这符合常识，因为重力是竖直向下的，对水平剪力不会产生影响。

图2 不同重刚比下结构顶部位移响应的变化Fig.2Displacementonthetopofstructurechangingwithgravity-rigidityratio图3 不同重刚比下结构顶部加速度响应的变化Fig.3Accelerationonthetopofstructurechangingwithgravity-rigidityratio图4 不同重刚比下结构底部弯矩响应的变化Fig.4Momentatthebottomofstructurechangingwithgravity-rigidityratio

图5　不同重刚比下结构底部剪力响应的变化Fig.5 Shear at the bottom of structure changing with gravity-rigidity ratio

5结论

本文主要给出超高层建筑风振时风重耦合效应的计算方法，总结前面内容主要有以下结论。

(1)超高层建筑在风荷载作用下，会发生较大变形的振动，在一定程度上有弱非线性行为，利用变形后微元体的几何关系、物理方程和平衡方程可以推得计入风重耦合效应悬臂结构弯曲振动方程，计算结果可以验证与有限元计算结果一致。

(2)顺风向结构振动方程可以分解为平均风作用方程和脉动风作用方程。通过振型分解可以得到各阶非线性振动方程。弱非线性问题可以通过等效线性法求解，在建筑物合理刚度范围内，结构非线性效应不大，本文方法可以满足精度要求。

(3)结构响应可以通过求解传递函数获得结构功率谱函数，从而得到结构响应方差。通过算例可知在结构重刚是影响风重耦合效应最重要的因素，风重耦合效应随结构重刚比增大而增大。

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