王柳

在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高同学们分析问题和解决问题的能力是大有帮助的，下面就讲解几种圆中常用辅助线的添法。

一、遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径），或连结过弦的端点的半径.

作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，再根据勾股定理求有关量.

例1 如图1，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D二点.求证：AC=BD.

证明：过O作OE⊥AB于E，

∵O为圆心，OE⊥AB，

∴AE=BE，CE=DE，

∴AC=BD.

例2 如图2，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，求证：[AC]=[BD].

证明：连结OC，OD，

∵M，N分别是AO，BO的中点，AO=BO，

∴OM=ON，

又CM⊥OA，DN⊥OB，OC=OD，

∴Rt△COM≌Rt△DON，

∴∠COA=∠DOB，

∴[AC]=[BD].

例3 如图3，已知M，N分别是⊙O的弦AB，CD的中点，AB=CD，求证：∠AMN=∠CNM.

证明：连结OM，ON，MN，

∵O为圆心，M，N分别是弦AB，CD的中点，

∴OM⊥AB，ON⊥CD，

∵AB=CD，

∴OM=ON，

∴∠OMN=∠ONM，

∵∠AMN=90°-∠OMN，∠CNM=90°-∠ONM，

∴∠AMN=∠CNM.

二、当题目已知直径时，常常添加直径所对的圆周角，利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形；当题目已知有90°的圆周角时，常常连结两条弦没有公共点的另一端，利用圆周角的性质得到直径.

例4 如图4，AB为⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC=PC，PB的延长线交⊙O于D，求证：AC=DC.

证明：连结AD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADP=90°，

又AC=PC，

∴AC=CD=[ 1

2 ]AP.

三、遇到等弧时，常作的辅助线有这么几种：①作等弧所对的弦；②作等弧所对的圆心角；③作等弧所对的圆周角.

例5 如图5，已知在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，求证：OE=[ 1

2 ]AD.

证明：作直径CF，连结DF，BF，AD，

∵CF为⊙O的直径，

∴CD⊥FD，

∵CD⊥AB，

∴AB∥DF，

∴[AD]=[BF]，

∴AD=BF，

又OE⊥BC，且O为圆心，CO=FO，

∴CE=BE，

∴OE=[ 1

2 ]BF=[ 1

2 ]AD.

四、遇到题目中已知有切线时，常常添加过切点的半径（连……