两均匀带电长直导线的电场线方程的两种推导方法

姜付锦

(武汉市黄陂区第一中学湖北 武汉430300)

摘 要：本文采用解析函数的知识和径向圆光栅的莫尔条纹理论分别从两个不同的角度推导出了两根无限长均匀带电直导线的电场线方程，并用电脑软件MathCAD对其电场线进行了数值模拟.

关键词：解析函数莫尔条纹数值模拟

收稿日期：(2014-12-15)

文献[1]描绘了两根带相等电量无限长直导线的电场线和等势面的解析函数，但是没有给出带不等电量两根无限长直导线的电场线方程.本文将用两种方法来研究这个问题.

1建立模型

两根相距为2a的无限长平行均匀带电直导线，每根导线单位长度上所带的电荷量分别为λ1,λ2，以垂直于两根导线的连线为x轴，过连线中点O作垂线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图1所示.

图1　建立平面直角坐标系

由高斯定理[2]求得其中一根导线在空间产生的电场强度的大小为

式中r为空间某点到直导线的距离.

设xOy平面任意一点P的坐标为P(x,y)，则两根直导线在P点产生的合电场强度E的两个分量为

Ex=E1cosθ1+E2cosθ2=

(1)

Ey=E1sinθ1+E2sinθ2=

(2)

2利用解析函数求解

设电势为φ，电场强度为E，由于E=-φ，得任意一点P(x,y)的电场强度的两个分量应满足式(1)和式(2).

查表得[4]

上式中的E(x,y)为任意常量，则上式可化为

(3)

即两根无限长带电直导线的电场线的方程.式中C2为任意常数.

若将坐标系xOy的原点平移到(-a,0)，则式(3)可化为

设λ1=kλ2(k为常数)，由极坐标与平面直角坐标的关系式

x=ρcosφy=ρsinφ

(4)

将式(4)化为极坐标系的表达式

3利用径向圆光栅的莫尔条纹推导[5，6]

作光栅平面xOy，规则排列的光栅线纹可以用整数n,m作为参变量，x,y作为函数表示出来.这样两光栅的栅线方程分别由f(x,y,n),g(x,y,m)的形式表示出来.由于两栅线交点的轨迹是莫尔明条纹，因此莫尔条纹方程式就能由f(x,y,n),g(x,y,m)所给定.可以用f,g描述的栅线簇不仅仅限于直线，凡是规则排列的曲线簇都可以，更普遍的不只是平面曲线，即使是空间曲线也适用.这两条光栅线分别代表的是两根无限长均匀带电直导线产生的电场线.

设两光栅的角节距分别为γ1,γ2，偏心放置，偏心量OO1=2a，如图2所示.取两光栅中心连线OO1为x轴，与x轴垂直并通过主光栅中心O的为y轴，为使栅线方程简单，使两光栅各有一簇线纹与x轴正方向重合，并以此线为栅线编号n,m的起点，且令n,m为正或负整数(逆时针方向数为正，顺时针方向数为负)，则两光栅的栅线方程可表示为

φ=nγ1

若n=m+L,γ2=kγ1，则上式可整理为

式中C=Lkγ1.两光栅线交点的轨迹就是两根无限长均匀带电直导线合场强的电场线.

图2　径向光栅栅线及其莫尔条纹方程图解

4数值模拟

利用电脑软件MathCAD可以对电场线进行数值模拟，如图3所示.

图3　用MathCAD对电场线进行数值模拟

如图3(a)所示，当k=-1时表示两根带等量异种电荷的无限长直导线的电场线，它们是圆簇；

如图3(b)所示，当k=1时表示两根带等量同种电荷的无限长直导线的电场线，它们是双曲线簇；

如图3(c)所示，当k=-2时表示两根带不等量异种电荷的无限长直导线的电场线，它们是一种特殊平面曲线簇；

如图3(d)所示，当k=2时表示两根带不等量同种电荷的无限长直导线的电场线，它们是一种特殊平面曲线簇.

5结语

参 考 文 献

1王小林．两无限长均匀带电平行直线的电力线和等位面．西华师范大学学报(自然科学版),2001，22(2)：134～138

2徐斌富，章可钦，邹勇，潘传芳 ．大学物理基础(第二册)．北京：科学出版社，2007.19～20

3程若磊．无限长均匀带电线与非接地带电圆柱导体系统的等势线与电场线方程 ．物理通报,2013(8)：22～23

4周城壁．高等数学(第一册 第三版)．北京：高等教育出版社，1997.369

5姚景风．圆光栅的莫尔条纹 ．上海机械学院学报，1983(3)：77～82

6李治林，刘建科．利用莫尔条纹模拟叠加静电场的等势线 ．大学物理，2011(6)

Two Deductive Methods on Electric Field Line Equation

of Two Infinite Long Uniformly Charged Wires

Jiang Fujin

(Huangpi No.1 High School, Wuhan, Hubei430300)

Abstract:We obtain the electric field line equation by two infinite long uniformly charged wires with the approach of analytic function, and then deduce the equation by using of the moire fringe of radial circular grating. At last, we do numerical simulation for the electric field line by the software MathCAD.

Key words: analytic function; moire fringe; numerical simulation