一类映射连续点集的结构

蒲 斌 斌

(陇西县首阳中学,甘肃 定西 748106)

摘要：基于Riemann函数的连续性及(0,1)∩Q的结构，以度量空间的开子集为全集，研究开度量空间到度量空间映射的连续点集结构，得到开集(X,d)到(Y,d1)的映射T的连续点集是(X,d)中的Gδ型集；若T定义在Rn中有内点的子集I上，以I的任意内点的一邻域为全集，根据Baire定理反证得出I∩Qn不是I中的Gδ型集，进而得到映射T不可能仅在I∩Qn上连续。

关键词：连续点；映射；Gδ型集；内点；有理点

中图分类号：O 174

基金项目：安徽省高等学校省级自然科学研究重点

作者简介：盛魁(1981-)，男,安徽涡阳人，讲师，硕士，主要从事数据挖掘、智能信息检索和电子商务研究。

Structure of Continuous Points Set of a Class of Mapping

PU Bin-bin

(Shouyang Middle School in Longxi County，Dingxi,Gansu 748106,China)

Abstract:Based on the continuity of Riemann function and the structure of(0,1)∩Q,the paper defines the open subset of a metric space as complete set.By researching the set structure of continuous points of mapping from open space of metric space to the metric space mapping,we obtain that the set of continuous points of the mapping named T from open settois a set(X,d) to(Y,d1)is a set of Gδ type on(X,d);if the T is defined on I⊂Rn with interior points,which is impossible only to be continuous on I∩Qn.And defining complete set point on I a neighborhood of interior point on I,accoeding to the Baire theorem we prove that I∩Qn is not the Gδ-type set on I,and then we get:the T is impossible only to be continuous on I∩Qn.

Key words:continuous point;mapping;set of Gδtype;interior point;rational point

1引言

Riemann函数

仅在(0,1)Q上连续。

根据f(x)、R(x)的连续性，试问：是否存在仅在Q的子集上连续的函数？或者更一般的，是否存在仅在Q的子集上连续的映射？

在文献中，王家军证明了f:R→R不可能在Q上连续，在RQ上间断；在文献中，张庚尧得出定义在度量空间中开集内的实函数的连续点集是f定义域中的Gδ型集。在文献中，刘立明得出Rn上第一类Baire函数的连续点集是Rn中的第二纲集。基于文献、、的研究成果，试问：定义在一般度量空间上的函数和映射的连续点集结构是怎样的?在怎样的条件下映射的连续点集是其定义域中的Gδ型集?为了回答这些很有意思的问题，不妨先从应用范围最广泛的开度量空间(X,d)入手研究，这样或许能得出一些有用的结论。为了使叙述合理、简洁，先引入必要的定义及一些记法。

2定义

定义1设T:(X,d)→(Y,d1)是两度量空间间的映射，对∀x0∈X，若x0为T的连续点，则对∀ε>0，∃δ>0，使得T(U(x0,δ))⊂U((Tx0,ε))。