刘金婷 刘嘉瑞

摘要： 文章分析了映射和函数在不同工具书中定义的异同，并根据定义的不同讨论了形成概念不一致的原因：主要是由于函数概念随着数学的发展不断扩展造成的。文章还探讨了映射、函数、算子、泛函之间的相互关系及在各数学分支中的习惯用法。

关键词：映射，函数，算子，泛函

中图分类号：N04；O1文献标识码：A文章编号：1673-8578（2015）06-0050-03

引言

在科技术语中，有很多概念交叉、错综复杂、同义异名及同名异义的现象，厘清这些术语之间的概念差别是术语工作的重要内容之一。在数学中，经常会用到映射（mapping）和函数（function），按照集合论的观点，它们都是表示两个非空集合之间的特殊对应关系。然而在不同的教科书和工具书中，它们的定义不尽相同，且有的定义相差较大，这就给学习和使用的人带来了困惑。比如在《中国大百科全书》（第二版）[1]和大学教材《高等数学》[2]中，称函数是映射的一种特殊情况，函数是实数域到实数域的映射。而在专业工具书如《数学大辞典》[3]和《数学百科全书》[4]中，称函数就是映射，二者完全等同。与这两个概念含义相近的还有算子（operator）、泛函（functional）等，这些概念之间具体有什么差别？本文尝试分析并探讨其差异，建立起它们之间的逻辑关系。

一映射的概念

映射是集合论中非常基本的概念，它的定义并无争议，在不同的教科书或者工具书中只有一些表述的差异。在《高等数学》中，映射的概念如下：设数集X、Y为两个非空集合，如果存在一个法则f使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射[2]。……