刘金婷 刘嘉瑞

摘要： 文章分析了映射和函数在不同工具书中定义的异同，并根据定义的不同讨论了形成概念不一致的原因：主要是由于函数概念随着数学的发展不断扩展造成的。文章还探讨了映射、函数、算子、泛函之间的相互关系及在各数学分支中的习惯用法。

关键词：映射，函数，算子，泛函

中图分类号：N04；O1文献标识码：A文章编号：1673-8578（2015）06-0050-03

引言

在科技术语中，有很多概念交叉、错综复杂、同义异名及同名异义的现象，厘清这些术语之间的概念差别是术语工作的重要内容之一。在数学中，经常会用到映射（mapping）和函数（function），按照集合论的观点，它们都是表示两个非空集合之间的特殊对应关系。然而在不同的教科书和工具书中，它们的定义不尽相同，且有的定义相差较大，这就给学习和使用的人带来了困惑。比如在《中国大百科全书》（第二版）[1]和大学教材《高等数学》[2]中，称函数是映射的一种特殊情况，函数是实数域到实数域的映射。而在专业工具书如《数学大辞典》[3]和《数学百科全书》[4]中，称函数就是映射，二者完全等同。与这两个概念含义相近的还有算子（operator）、泛函（functional）等，这些概念之间具体有什么差别？本文尝试分析并探讨其差异，建立起它们之间的逻辑关系。

一映射的概念

映射是集合论中非常基本的概念，它的定义并无争议，在不同的教科书或者工具书中只有一些表述的差异。在《高等数学》中，映射的概念如下：设数集X、Y为两个非空集合，如果存在一个法则f使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射[2]。也就是说映射是建立在两个非空集合之间的对应关系，并且满足以下几个条件：（1）“对X中每个元素x”，就是说X中不能有剩余元素；（2）“在Y中有唯一确定的元素y与之对应”，就是说在Y中有即可，也就是Y中可以有剩余元素；（3）“唯一确定”，说明X中的一个元素不能在Y中对应多个元素，即“不能一对多”；（4）X中的一个元素在Y中只能对应一个元素，即可以“一对一”；（5）X中的多个元素也可以在Y中对应一个元素，也就是可以“多对一”。在《中国大百科全书》中称其为函数概念的推广，而在《数学大辞典》和《数学百科全书》中称映射就是函数。

二函数的概念

函数是数学中最重要的术语之一，但是其概念却并不完全统一。在大学教材《高等数学》中，函数的定义如下：设数集DR，则称映射f∶D→R为定义在D上的函数，在这个函数定义中，对每个x∈D，按对应法则f，总有唯一确定的值y与之对应，这个值称为函数f在x处的函数值[2]。从中可以看出，这个定义中的“函数”是映射的一个特例，包含于映射，并且其是实数集到实数集的映射。在《中国大百科全书》第二版中称函数本质上是数集之间的一种对应（或称为“映射”）[1]。这也是说函数本质上是一种映射，是数集上的映射，它与映射的概念不同，它的范围小于映射。

而在《数学大辞典》中的函数定义为：即映射。设X与Y为给定的两个集合，f是某个法则，每个x∈X按照f对应唯一的y∈Y，称f为从X→Y的一个函数[3]。《数学百科全书》中函数的定义也是从集合论的角度给出，与上述定义内涵一致，还指出函数的概念与映射等价[4]。这就是说函数等同于映射，两者概念一致。

由此可见，在不同的工具书中，映射和函数的关系并不相同。这主要是由于函数这个术语的概念在历史上发生过多次变化，其概念不断扩展，所以才形成了函数概念的不一致，从而函数和映射的关系也不一致。

三函数概念的发展历史

作为数学中非常重要而又非常基本的术语，函数概念的形成和发展经历了一段比较长的历史过程。Function这个词首先由莱布尼茨（G.W.Leibniz）提出，后来被中国数学家李善兰译为“函数”。1755年， 欧拉（L.Euler）在他的《微分学原理》的序言中又给出了如下定义：“ 如果某些量以这样的方式依赖于另一些量， 即当后面这些量变化时， 前面这些变量也随之变化， 则将前面的变量称为后面变量的函数。”[5]后来随着分析学的发展，函数的概念也随之扩展。伯努利（J.Bernoulli I）等人拓广了函数自变量的取值范围， 他们允许自变量取函数， 从而产生了泛函，开创了泛函分析学科。由此可见，泛函的概念原本大于函数的概念。

1837年狄利克雷（P.G.Dirichlet）也给函数下了一个定义：如果对于给定区间上的每一个x的值有唯一的y值同它对应， 那么y就是x的一个函数， 至于在整个区间上y是否按照一种或多种规律依赖于x， 或者y依赖于x是否可用数学运算来表达， 那都是无关紧要的[6]。这个概念推广到实数域即是我们现在常用的函数的用法。随着集合论的大力发展，人们认识到函数与映射的内涵是一致的，于是将函数的概念进一步扩展。戴德金（R.Dedekind）首先将映射和函数的概念统一了起来。布尔巴基（N.Bourbaki）学派1939年给出了函数的一个较完整的定义：设E和F是两个集合， 它们可以不同， 也可以相同，E中的一个变元x和F中的变元y之间的一个关系称为一个函数， 如果对每一个x∈E，都存在唯一的y∈F，它满足跟x的给定关系，我们称这样的运算为函数。这也是现在数学专业工具书上常用的定义。所以根据现代数学的观点，映射等同于函数，他们的概念是统一的。出现函数定义的差别主要原因在于根据分支学科的适用范围采用了历史上曾有的函数定义，而不完全采用现代数学观点中的函数定义。

四算子、泛函等相关概念

算子是指从一个空间到另一个空间的映射。在泛函分析中习惯称为“算子”，而称取值为数域的算子为“泛函”。基于此发展起来的算子理论是研究抽象空间之间的对应关系的重要领域。算子的范围相对于泛函来说扩展了，如果两个空间都为实数域，则此算子就是传统概念中的函数。可见算子的概念大于泛函和传统概念中的函数。endprint

如果将函数的定义域从实数域扩展到复数域，那么以复数作为自变量和因变量的函数称为复变函数。定义域为实数域的函数可以看作是复变函数的特殊情况。一个自变量对应多个因变量的情况，称作多值函数。

五映射、函数、算子、泛函之间的相互关系

由上文分析可见，映射、函数、算子、泛函从本质来看基本是一致的，只是它们的应用范围不同。函数和映射是两个集合的特殊对应关系，泛函是空间对数集的映射，算子是空间对空间的映射，算子是扩大的泛函。虽然以现代数学的观点，映射和函数完全等同，但是在分析学中常用函数，在集合论中常用映射。在术语学理论中，科技术语要明确界定概念及其应用范围并不容易，特别是有些学科有习惯用法，也就是术语学中所说的“约定俗成”。对于同义术语，也要加以分析，区别出不同的情况，既然语言中存在同义词，包括所谓相对同义词与绝对同义词的差别，那么，在同一题材的范围内，也可以并行地使用不同的说法。因此，即使术语的概念相近，只是在不同的领域内有不同的名称，也是符合术语规范化工作的实际情况的。虽然它们的内涵是一致的，却不宜统一名称，在不同领域及不同范围内，根据实际情况，在不同的学科保持惯用的、约定俗成的名称更合理，强行统一只会造成更大的使用混乱。因此保持映射、函数、算子、泛函在不同数学分支中根据各自的常用习惯来使用更合理。所以，从内涵上来说，映射、函数、算子、泛函可属于同义异名，但各自应用领域不同，不宜完全统一；从约定俗成角度，在集合论中，惯用映射；在分析学中惯用函数；在泛函分析中，惯用泛函和算子。

六结语

从现代数学的观点，函数就是映射，两个概念完全等价。映射、函数、算子、泛函从内涵来看基本是一致的。从应用范围来看，映射=函数算子泛函函数（实数域）。函数多用在实数集上，常用于分析学；映射常用于集合论；泛函和算子常用于泛函分析。保持它们的习惯用法，不强制统一，符合术语规范化工作的实际情况。

专业工具书（如《数学大辞典》《数学百科全书》等）主要面对数学界专业人员，所以将函数与映射的概念统一，符合数学中这一概念的实际发展情况。而《中国大百科全书》和《高等数学》教材面对更广泛的人群，将函数的概念限制在实数域，映射用在集合论，将映射作为函数概念的扩展，这更符合大家的实际使用习惯。

参考文献

[1] 《中国大百科全书》总编委会. 中国大百科全书[M].2版.北京：中国大百科全书出版社，2009.

[2] 同济大学数学系. 高等数学[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[3] 王元，文兰，陈木法，等.数学大辞典[M].北京：科学出版社，2010.

[4] 《数学百科全书》编译委员会. 数学百科全书[M].北京：科学出版社，1999.

[5] Dieter Ruthing. 函数概念的一些定义——从Jon.Bernoulli到N.Bourbaki[J].数学译林，1986（3）：21-23.

[6] 吉特尔曼 A.数学史[M]. 北京：科学普及出版社，1987：265.

[7] 李鹏奇.函数概念300 年[J].自然辩证法研究，2001，17（3）：48-52.

[8] 郑述谱.试论属于标准化的辩证法[J].中国科技术语，2008，10（3）：5-10.endprint