稳态热传导结构非概率可靠性拓扑优化设计

2015-12-30尤芳,陈建军,曹鸿钧等

振动与冲击 2015年3期

关键词：拓扑优化热传导

第一作者尤芳女，博士生，讲师，1973年生

通信作者陈建军男，教授，博士生导师师，1951年生

稳态热传导结构非概率可靠性拓扑优化设计

尤芳1,2，陈建军1，曹鸿钧1，谢永强1

(1．西安电子科技大学机电工程学院，西安710071；2．西北农林科技大学机电工程学院，陕西杨凌712100)

摘要：研究具有区间参数的稳态热传导结构在散热弱度非概率可靠性约束下的拓扑优化设计问题。建立了以单元相对导热系数为设计变量，导热材料体积极小化为目标函数，满足散热弱度非概率可靠性为约束条件的稳态热传导结构的拓扑优化设计数学模型。基于区间因子法，推导出散热弱度的均值及离差的计算表达式。采用渐进结构优化法的求解策略与方法，并利用过滤技术消除优化过程中的数值不稳定性现象。通过算例验证所述模型及求解策略、方法的合理性和有效性。

关键词：热传导；区间参数；非概率可靠性；区间因子法；拓扑优化

收稿日期：2014-05-27修改稿收到日期：2014-09-18

中图分类号:TH122文献标志码：A

基金项目：国家自然科学基金(51175158, 51075131);湖南省自然科学基金(11JJ2026);湖南省研究生科研创新项目资助(CX2013B144);湖南省机械设备健康维护重点实验室开放基金资助项目(201202)

Topology optimization design of steady-state heat conduction structures considering non-probabilistic reliability

YOUFang1,2,CHENJian-jun1,CAOHong-jun1,XIEYong-qiang1(1. School of Mechatronic Engineering, Xi’an University of Electronics & Technology, Xi’an 710071, China；2. College of Mechanical & Electronic Engineering, Northwest A & F University, Yangling 712100, China)

Abstract:Topology optimization design of a steady-state heat conduction structure with interval parameters under constraint of dissipation of heat potential capacity was studied. The topology optimization model of the heat conduction structure with interval parameter was constructed based on the constraint of non-probabilistic reliability for dissipation of heat potential capacity. The total volume of heat conductive material was minimized and the relative thermal conductivities of elements were regarded as the design variables here. The computational expressions of numerical characteristics of dissipation of heat potential capacity based on the interval factor method were derived. The evolutionary structural optimization method was used in the optimization. A filtering technique was employed to eliminate numerical instabilities in the process of topology optimization. The numerical examples were presented to demonstrate the feasibility and effectiveness of the optimal model and solving approach.

Key words:heat conduction; interval parameters; non-probabilistic reliability; interval factor method; topology optimization

拓扑优化设计作为结构优化设计领域的热点问题之一，其主要目的是在设计域中寻求结构最佳传力(传热)路径，以优化结构的某些性能或减小结构的重量(体积)。目前，结构拓扑优化研究已取得一些成果。文献[1]对双向进化结构优化算法的有效性和精确性进行研究，并分析结构在自重作用下的拓扑形式。文献[2-3]对瞬态热传导结构拓扑优化问题进行了研究。文献[4]结合SIMP(Solid Isotropic Material with Penalization)和AOFA(Aggregated Objective Function Approach)方法研究了多目标传热结构拓扑优化问题。文献[5-6]基于水平集方法分别研究了稳态热传导结构和多相材料热传导结构的拓扑优化问题。文献 [7]研究了在结构强度和导热系数约束下的结构拓扑优化设计问题。文献[8] 采用渐进优化算法对约束阻尼圆柱壳的约束阻尼材料进行优化配置。文献[9-10]以模态损耗因子(或模态阻尼比)最大化为目标函数，采用双向渐进结构优化或移动渐近线法对约束阻尼板的拓扑优化问题进行研究。

在大量工程实际问题中，测量误差、制造水平及环境条件等因素使得结构材料特性、几何参数和所受载荷等呈现不确定性，进而导致结构的性能或响应结果产生不确定性。若忽略上述不确定性因素，按照传统的确定性优化方法得到的结果可能会偏离所要求的最佳性能，甚至是不可行的。因此，在工程结构分析及设计过程中有必要考虑这些不确定性因素。温度场作为结构拓扑优化设计的重要研究领域，其结构拓扑优化设计大多属于确定性拓扑优化设计，开展区间参数下热传导结构非概率可靠性拓扑优化设计研究无疑具有一定的理论意义和工程实用价值。

本文在前人工作基础上，研究具有区间参数稳态热传导结构非概率可靠性拓扑优化设计问题。考虑热传导结构的热物性参数为区间变量，利用区间运算法则，建立具有散热弱度非概率可靠性约束的稳态热传导结构的拓扑优化设计数学模型，采用渐进结构优化的求解策略与方法求解，并应用过滤技术消除优化过程中的数值不稳定性现象。最后，通过算例验证文中模型和方法的合理性和有效性。

1区间参数下稳态热传导结构有限元分析

根据导热理论，稳态热传导问题的平衡方程为：

(1)

式中：T=T(x,y,z)为待求的温度场；

kx、ky、kz为结构在x、y、z方向的导热系数；

q0为结构内热源度。

将热传导结构初始求解区域Ω离散为n个单元，则第e号单元有限元方程为：

KeTe=Re

(2)

式中：Ke为单元热刚度矩阵；Te为单元节点温度向量；Re为单元热载荷向量。它们的具体表达式如下：

为从整体上描述结构的导热性能，定义结构散热弱度C(亦称热量传递势容耗散)，其物理含义为导热过程中结构热量传递势容的损失，具体表达式为：

(3)

其中:K：结构热刚度矩阵；T：结构温度向量；R：结构热载荷向量。

初始求解区域Ω由导热材料组成，拓扑优化的目的在于通过删除单元导热材料来形成孔洞(或者将其替换为绝热材料)以形成新的材料分布方式，从而使得结构具有最佳散热效果。

假设删除第e号单元导热材料(或将其替换为绝热材料)对热载荷向量R不造成影响，那么删除第e号单元导热材料(或将其替换为绝热材料)后的结构有限元方程为：

(K-Ke)(T-ΔT)=R

(4)

式中：ΔT为删除第e号单元导热材料(或将其替换为绝热材料)所引起的结构温度变化量。

将KT=R代入式(4)，并忽略高阶项，可得删除第e号单元导热材料(或将其替换为绝热材料)所引起的结构温度变化量ΔT为：

ΔT=K-1KeT

(5)

此时删除第e号单元导热材料(或将其替换为绝热材料)引起的散热弱度变化量ΔC为：

(6)

易见，删除该单元导热材料(或将其替换为绝热材料)时所引起的结构散热弱度变化量ΔC即为第e号单元的散热弱度Ce。由此可知，当单元的散热弱度Ce越小时，删除该单元导热材料对结构散热弱度的影响也越小，该单元散热弱度对结构散热弱度的贡献也较小即该单元对于结构散热弱度来说是无效或低效的。

参考文献为了便于与已有中的算例结果进行比较，现假设结构在换热过程只有热传导，而无对流和辐射，且结构是由各向同性导热材料构成。此时单元的热刚度矩阵Ke为：

(7)

(8)

Ke=kFI·(Ke)C

(9)

K=kFI·KC

(10)

考虑热传导边界条件为：

(11)

这里给定边界S上的边界条件为第一类边界条件，即已知S边界上任意M点的温度场分布φ(M)。此时，单元热载荷向量Re为：

(12)

Re=q0FI·(Re)C

(13)

R=q0FI·RC

(14)

其中：(Re)C、RC分别为当q0取q0C时得到的单元热载荷向量和结构总热载荷向量。

将式(9)和(13)代入式(2)，求得Te为：

(15)

由上式可知，Te亦为区间变量，其取值范围同时取决于k、q0的取值范围。至此，具有区间参数的稳态热传导结构的第e号单元散热弱度Ce和结构散热弱度C分别为：

(16)

(17)

由上式可知，Ce、C均为区间变量，其取值范围亦同时取决于导热系数k及内热源强度q0的取值范围。

根据区间运算法则，求得C的均值和离差分别为：

(18)

(19)

(20)

(21)

G=g(C0,CK)=C0-CK=

C0(C0FI)-CK(kFI,q0FI)

(22)

可见，G是由区间因子C0FI、kFI和q0FI确定的函数关系式，故G亦为区间变量。

2基于区间分析的非概率可靠性度量

η=GC/GR

(23)

式中：GC和GR分别为区间变量G的均值和离差。

当功能函数G为多个区间变量的线性函数时，即：

(24)

此时，非概率可靠性指标η为：

3稳态热传导结构非概率可靠性约束拓扑优化设计

3.1优化数学模型

稳态热传导结构拓扑优化问题研究给定设计域内导热材料的最优分布。这里以单元相对导热系数为拓扑优化设计变量来表征结构中导热材料的存在与否。当单元相对导热系数为0时，单元材料导热系数为0，单元为绝热材料(或低导热系数材料)、孔洞等；当单元相对导热系数为1时，单元材料导热系数为k，单元为导热材料。建立以单元相对导热系数为设计变量，导热材料体积极小化为目标函数，满足结构散热弱度非概率可靠性为约束条件的稳态热传导结构的拓扑优化设计数学模型如下：

(26)

其中：V为导热材料的体积；Vi为第i个单元的体积；C0为结构许用散热弱度区间变量；CK为第K次迭代时结构的散热弱度区间变量；η*为给定的大于1的非概率可靠性指标；η(·)为基于区间模型得到的非概率可靠性指标；xi∈(0;1)表示每个设计变量只能取0或1两个离散值。

3.2优化求解策略

文中采用渐进结构优化(Evolutionary Structural Optimization，ESO)算法，通过逐步删除无效或低效的导热材料使得结构趋于优化。由单元散热弱度均值和当前删除率所确定的删除准则为(Ce)C

4算例

①四周边界温度T=T0+0；

②左右边界温度T=T0+0，其余边界为绝热边界。

给定非概率可靠性指标为η*=1.2。初始设计结构被离散为40×40个矩形单元。取初始删除率RR0为0.5%，进化率ER为0.5%。

边界条件：① 四周边界温度T=T0+0下的区间模型的最优拓扑结构如图1所示。结构初始散热弱度均值为41.68 kJ，拓扑优化后的结果如表1所示。为便于比较，文中同时给出了确定模型的最优拓扑结构及拓扑优化结果(如图2和表1所示)。

图1 区间模型的拓扑优化结构Fig.1Topologyoptimizationofintervalmodel图2 确定模型的拓扑优化结构Fig.2Topologyoptimizationofcertainmodel

其中，确定性模型的非概率可靠性指标是将其最优结构拓扑设计方案中的各个参数视为与区间模型相同的区间变量时的计算结果。

表1　边界条件：①四周边界温度 T= T 0+0下的拓扑优化结果

边界条件：②左右边界温度T=T0+0，其余边界为绝热边界下的区间模型的最优拓扑结构如图3所示。结构初始散热弱度均值为44.44 kJ，拓扑优化后的结果如表2所示。同时给出的确定模型的最优拓扑结构及拓扑优化结果(如图4和表2所示)。

图3 区间模型的拓扑优化结构Fig.3Topologyoptimizationofintervalmodel图4 确定模型的拓扑优化结构Fig.4Topologyoptimizationofcertainmodel

表2　边界条件：②左右边界温度T=T 0+0，

由稳态热传导结构的拓扑优化结果可知：

(1)对于确定模型的最优解，由于其散热弱度可能刚好满足许用的散热弱度，此时如果热物性参数和热载荷具有区间性，结构散热弱度值随之也呈现区间性，散热弱度非概率可靠性指标不能满足给定非概率可靠性指标，结构将处于失效状态，即确定模型的最优解很可能是区间模型的不可行解。

(2)区间模型和确定模型的拓扑优化设计结果存在较大差异，究其原因主要在于区间模型的非概率可靠性指标要求“最坏的参数取值情形下结构也满足可靠性要求”，故区间模型的散热弱度非概率约束比确定模型的散热弱度约束严格，与确定模型相比可靠性更高，优化结果也偏于保守。

(3)基于区间因子法，构建的具有区间参数的稳态热传导结构的拓扑优化数学模型是合理的，所采用的求解策略和方法是可行和有效的。

5结论

研究具有区间参数的稳态热传导结构的拓扑优化设计问题。考虑热传导结构的相关参数为区间变量，借助区间因子法，建立满足散热弱度非概率可靠性约束的稳态热传导结构的拓扑优化设计数学模型。采用渐进结构优化法进行求解。算例表明文中所构建的优化数学模型是合理性的，所采用的求解策略和方法是可行和有效的。

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