杨静俐

（泉州师范学院 软件学院，福建 泉州 352000）

积分的计算是高等数学中非常重要的内容，是学习后续课程最主要的工具，掌握积分的计算对二重积分、三重积分及微分方程的学习均有很大的帮助.对于不定积分的求解问题，学生能理解它是微分（导数）的逆运算，但需要学生逆向思维，将不定积分的计算公式理解为微分（导数）的逆运算，对一些数学基础不好的学生来说，比较难以掌握.而定积分的计算，主要利用不定积分的换元积分法和分部积分法，采用牛顿-莱布尼茨公式求出其原函数，从而求出定积分的值[1].

对于常用的数学软件，我们比较熟悉的有Maple、Mathematics和Matlab.而对于Matlab软件，由于它具有强大的数值计算功能和绘图功能，同时它的操作界面友好，可视化技术强，被众多高校所采用[2].本文利用Matlab软件求解积分，通过可视化技术，同时与传统的求解积分的方法进行比较，让学生明白利用Matlab软件可以快速简捷的求解不定积分和定积分.

1 利用Matlab软件求解不定积分

如果已知某一个函数F(x)的导数为f(x)，如何求F(x)？根据已有的理论知识，F(x)称为f(x)的一个原函数，而且f(x)存在无穷多个原函数，这无穷多个原函数之间相差一个常数C.把这无穷多个原函数记为f(x)的不定积分.具体记为 乙f(x)dx=F(x)+C，此公式表明不定积分实质上是求微分（导数）的逆运算.在介绍求不定积分的计算方法时，几乎所有的教材都介绍了利用基本积分公式求解不定积分和求不定积分的换元积分法和分部积分法[3-6].本文利用Matlab软件求解不定积分，不管被积函数具有什么特点，只需要用一个命令就可以求解出不定积分.

现在介绍利用Matlab软件求解不定积分的命令.利用Matlab软件求解不定积分的库函数为int，.具体操作命令为：int(f,x)：f指被积函数，x为积分变量，其中积分变量x也可以省略.但是需要注意的是：利用Matlab软件求解出的不定积分只包含被积函数f的一个原函数，要表示其所有原函数，需要编程人员自己加上常数C.

输入命令：

>>s y m s x；

>>i n t(x^4,x)

显示结果：

>>ans=1/5*x^5

输入命令：

>>s y m s x；

>>i n t(e x p(x)*s i n(e x p(x)))

显示结果：

>>a n s=-c o s(e x p(x))

输入命令：

>>syms x；

>>int(1/sqrt(x^2-4*x-5),x)

显示结果：

>>ans=log(x-2+(x^2-4*x-5)^(1/2))

需要计算五部，比较复杂，但是用Matlab软件求解，只需要输入这样一个命令int(x^2*log(x),x)，按回车键，结果就出来了.具体的程序编写为：

输入命令：

>>syms x；

>>int(x^2*log(x),x)

显示结果：

>>ans=1/3*x^3*log(x)-1/9*x^3

2 利用Matlab软件求解不定积分

绝大部分高等数学教材在介绍定积分的概念时，首先给出两个引例，求解曲边梯形的面积和变速直线运动物体的路程，利用“微元法”的思想，通过分割、近似、求和、取极限四个步骤，得出曲边梯形的面积和和变速直线运动物体的路程都是一个和式的极限.剔除它的实际背景，抽象出其数学模型，将这样一个和式的极限定义为定积分.具体表示为：

下面介绍利用Matlab求定积分的命令.它的库函数仍然是int.具体命令为int(f,x,a,b)，与求解不定积分的命令比较，多了积分下限a和积分上限b.然后再介绍一个命令vpa，它用来求解定积分的近似值.因为有时候不定积分的结果无法用初等函数表示，这样它的定积分的结果也无法用解析解表示.可以用vpa这个命令求出其近似解.而在工程中，很多时候并不要求一定要求出其精确解，只需用近似解即可.

下面来介绍关于定积分的应用.定积分在几何上的应用主要是求解平面图形的面积和旋转体的体积.在中学数学中，学习了一些比较简单的图形的面积公式，但是不知道椭圆的面积公式.那是因为椭圆的面积无法用初等数学的知识求解.但是，在学习了定积分的知识之后，就可以求解椭圆的面积了.来看例子：

图1

利用Matlab软件的绘图功能，可以绘制出椭圆的图形如图1.

根据图形可以发现，椭圆的图形是关于两条对称轴对称的，那么它的总面积就是等于第一象限面积的4倍，而它的第一象限的部分为一个退化的曲边梯形，而定积分的几何意义即为曲边梯形的面积，选取x为积分变量，根据椭圆函数关系式，得，那么椭圆的总面积就为

利用Matlab软件求解

输入命令：

>>syms x y a b；

>>4*int(b/a*sqrt(a^2-x^2),x,0,a)

显示结果：

>>b/a*(a^2)^(1/2)*pi/(1/a^2)^(1/2)%表示πab

而任何一个图形，都可以分割成一些规则的图形和若干个曲边梯形.会求解曲边梯形的面积，也就可以求解出任何一个图形的面积.而求平面图形的面积在工程中应用非常广泛，这也让学生能更进一步的理解数学知识在工程中有非常广泛的应用，激发他们学习数学的兴趣.

下面来介绍最后一个例题.也是定积分在几何上的应用，求解旋转体的体积.

椭圆绕x轴旋转一周，围成一个椭球.在中学数学中，只学习了一些规则几何体的体积，对于椭球的体积，不知道怎么求解.首先利用Matlab软件的三维绘图功能绘制椭球图形如图2.

图2

根据理论知识的学习，平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积公式为

则所要求的椭球体的体积为

利用Matlab软件求解

输入命令：

>>syms x y a b；

>>pi*int(b^2/a^2*(a^2-x^2),x,-a,a)显示结果：

>>4/3*pi*b^2*a%表示4/3πab2

3 结束语

Matab软件不仅可以求解常用的不定积分与定积分，对于一些广义积分，同样可以求解，如的积分结果是误差函数，无法用初等函数表示.但仍然可以利用Matlab软件求解广义积分，在Matlab软件中，用inf表示无穷大，所以只需要把积分下限改用-inf表示，把积分上限改用+inf表示即可，求出其积分结果为，这是一个泊松积分，在概率论中泊松分布和正态分布中应用非常广泛.而如果要用理论知识求解这个定积分，需要学习二重积分之后，才能求解.同时Matlab软件还可以求解二重积分，其库函数仍然是int.

〔1〕李水育.高等数学[M].北京：人民邮电出版社，2013.10.

〔2〕杨静俐.提高高等数学教学质量的对策[J].佳木斯教育学院学报，2013,11(133)：201.

〔3〕张书欣.利用MATLAB求解数值积分[J].中国商界,2010,11(212)：464.

〔4〕朱孝春.一元函数不定积分中换元积分法与分部积分发的教学研究[J].数学教学研究,2011,11(30)：51-53,56.

〔5〕高卓玛.一道不定积分题的多种换元积分解法[J].青海大学学报（自然科学版）,2006,5(24)：71-72.

〔6〕周在莹.第二类换元积分法中三角函数换元的简便处理[J].湖南理工学院学报（自然科学版）,2011,12(24)：25-28.