·数理科学·

奇完全数素因数的一个性质

付瑞琴1,2,杨海1,3

(1.陕西师范大学 数学与信息科学学院， 陕西 西安710119;2.西安石油大学 理学院, 陕西 西安710065;3.西安工程大学 理学院,陕西 西安710048)

摘要：利用高次Diophantine方程的结果讨论奇完全数素因数的性质。证明了:如果n是奇完全数，p是n素因数，r是p在n的标准分解式中的次数，则σ(n/pr)/pr≠qt其中σ(n/pr)是n/pr的约数和，q是奇素数，t是正奇数或者适合t≤6的正偶数。

关键词：奇完全数; 素因数; 高次Diophantine方程

收稿日期：2014-03-14

基金项目：国家自然科学基金资助项目(11226038 11371012);陕西省教育厅专项基金资助项目(14JK1311)

作者简介：付瑞琴,女,陕西府谷人，从事数论及其应用方面的研究。

通讯作者：杨海,男,陕西府谷人，博士后,副教授,从事数论及其应用方面的研究。

中图分类号：O156.1

A property of prime divisors of odd perfect numbers

FU Rui-qin1,2, YANG Hai1,3

(1.College of Mathematics and information Science, Shaanxi Normal University, Xi′an 710119, China;

2.School of Science, Xi′an Shiyou University, Xi′an 710065, China;

3.School of Science, Xi′an Polytechnic University, Xi′an 710048， China)

Abstract:Using some results on higher degree Diophantine equations, the properties of prime divisors of odd perfect numbers are discussed. If n is an odd perfect number, p is a prime divisor of n and r is the degree of p in the factorization of n, then the result σ(n/pr)/pr≠qt is proved, where σ(n/pr) is the sum of divisors of n/pr, q is an odd prime, t is either an odd positive integer or an even positive integer with t≤6.

Key words: odd perfect number; prime divisor; higher degree Diophantine equation

设N表示全体正整数的集合。对于正整数a，设σ(a)是a的所有约数之和。如果正整数n满足

σ(n)=2n，

(1)

则称n是完全数。长期以来，完全数的性质一直是数论中引人关注的研究课题，其中奇完全数的存在性是一个迄今远未解决的著名难题，目前只得到了奇完全数存在的若干条件(参阅文献[1]的问题B1及其参考文献)。

设n是奇完全数，p是n的素因数，r是p在n的标准分解式中的次数。此时显然有gcd(pr,n/pr)=1。由于从文献[2]的定理1.9.2可知σ(a)是积性函数,所以从(1)可得

(2)

又从文献[2]的定理1.9.1可知gcd(pr,σ(pr))=1，故从(2)可得pr|σ(n/pr)，所以σ(n/pr)/pr是正整数。设

(3)

最近,M.Dris和F.Luca[3]证明了:对于奇完全数n的任一素因数p，都有

f(p)≠1,2,3,4或5，

(4)

陈凤娟和陈永高[4]在同样的题设下证明了

f(p)≠q,q2,q3,q4,qq′或q2q′。

(5)

其中q和q′是不同的奇素数。2013年K.A.Broughan,D.Delbourgo和Q.Zhou[5]利用不同的方法证明并改进了文献[4]的结论,同时给出f(p)的一个下界:f(p)≥315。……