·数理科学·

Novikov方程的对称群分析

黄晴1, 王丽真1, 刘俊荣1，高雯2

(1.西北大学 数学学院, 陕西 西安710127； 2.西北农林科技大学 理学院, 陕西 杨陵712100)

摘要：研究了Novikov方程的对称群分析问题,构造了方程所容许的李对称的优化系统,进行了对称约化,并得到了方程的大量的精确解。

关键词：Novikov方程； 李对称； 优化系统； 精确解

收稿日期：2014-04-02

基金项目：国家自然科学基金资助项目(11201371)；陕西省教育厅专项科研基金资助项目(11JK0482)；陕西省自然科学基金资助项目(2012JQ1013)

作者简介：黄晴,女,陕西子长人,西北大学副教授,从事偏微分方程研究。

中图分类号：O175.2

Group analysis of the Novikov equation

HUANG Qing1, WANG Li-zhen1, LIU Jun-rong1, GAO Wen2

(1.School of Mathematics, Northwest University, Xi′an 710127, China;

2.College of Science, Northwest A&F University, Yanglin 712100， China)

Abstract:In this paper, group analysis of the Novikov equation is performed. The one dimension optimal system of the Lie symmetries admitted by the equation in consideration is constructed. In addition, all exact solutions or the reduced equations corresponding to the optimal system are presented.

Key words: Novikov equation; Lie symmetry; optimal system; exact solution

本文研究Novikov方程[1]

ut-utxx+4u2ux-3uuxuxx-u2uxxx=0,

(1)

的对称约化和精确解构造问题,其中F为光滑的实值函数,u=u(t,x),ut=∂u/∂t,ux=∂u/∂x,uxx=∂2u/∂x2,uxxx=∂3u/∂x3,utxx=∂3u/∂t∂x2。Novikov方程是Camassa-Holm方程

ut-utxx+3uux-2uxuxx-uuxxx=0

的推广。自从它被提出以来,就得到了广泛的关注和研究,众多学者从各种角度研究了其解的存在性和适定性[2-3]。另外，文献[4]运用经典的李对称群分析方法,得到了Novikov方程的李点对称及五个点对称相应的群不变解。但是，没有构造方程(1)所有可能的群不变解。

这里我们首先应用优化系统理论,由Novikov方程所容许的李点对称构造其相应的十五维优化系统,并证明其最优性;再对方程进行对称约化,推导相应于优化系统中各个对称的约化常微分方程,并构造群不变解。

1优化系统

由微分方程对称群理论,方程(1)容许李对称

X=τ(t,x,u)∂t+ξ(t,x,u)∂x+

η(t,x,u)∂u

当且仅当

X(3)[ut-utxx+4u2ux-3uuxuxx-

u2uxxx]|ut-utxx+4u2ux-3uuxuxx-u2uxxx=0 =0。

其中X(3)为X的三阶延拓[5-7]。文献[4]中得到了方程(1)所容许的五维李代数。

定理1[4]Novikov方程容许五维李代数,其无穷小生成子为

X1=∂t, X2=∂x, X3=2t∂t-u∂u,

X4=e2x∂x+ue2x∂u, X5=-e-2x∂x+ue-2x∂u。

(2)

其中离散变换(t,x,u)→(t,-x,u)将李对称X4变换为X5。……