毛虎平 王伟能 续彦芳 张艳岗 董小瑞

(1.中北大学 机械与动力工程学院，太原 030051；2.煤科集团杭州环保研究院有限公司，杭州 311201）

非线性振动分析的切比雪夫谱元法

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(1.中北大学 机械与动力工程学院，太原 030051；2.煤科集团杭州环保研究院有限公司，杭州 311201）

为了进一步探索Chebyshev时间谱元法求解非线性的振动问题，从Bubnov-Galerkin方法出发，在第二类Chebyshev正交多项式极点处；用重心Lagrange插值来构造节点基函数及其特性，推导了非线性振动问题的伽辽金谱元离散方案，借助Newton-Raphson法求解非线性方程组。对于非线性单摆，还需要将二分法和重心Lagrange插值结合求解角频率。以Duffing型非线性振动和非线性单摆振动问题为例，验证了此方法具有现实可行和高精度的优点。

振动与波；非线性振动；切比雪夫正交多项式；谱元法；牛顿—拉夫逊方法

尽管许多工程问题可以用线性振动近似，但还是有很多工程振动需要考虑非线性。例如，大角度单摆、振动输送机、换热器直管、叶轮机叶片、高弹联轴节轴系、高速列车行驶时气体的阻力及材料产生弹塑性变形构成的振动系统等[1—3]，均需通过非线性微分方程进行分析。非线性振动不符合叠加原理，通常应用数值方法进行分析。

Steven Orszag[4]于1969年提出了谱方法[5,6]之后，给研究者所关注的高精度数值分析带来希望，然而其不能处理复杂设计域、不能近似非光滑函数等缺点[7]限制了其发展。考虑到谱方法的高精度以及指数收敛和有限元方法处理边界灵活的特性，学者Patera于1984年提出了谱元法，通过在Gauss-Lobatto-Legendre（GLL）点处Lagrange插值来构造节点基函数，并应用于流体动力学数值分析[8]。……