树本柏

反例教学即是对数学知识进行否定的论证，是一种较为特殊的教学手段。通常，我们会用命题的形式。欲证明命题的正确性，往往需要进行严谨的数学逻辑证明，但欲说明一定理的错误性，我们只需找出反例即可。单纯依靠正确示范和反复训练难以激发学生潜能，也会阻碍学生对知识的深入理解。在本文中，我们将从反例在中学数学教学中的实践应用出发，探究其在教学中的特殊作用。

一、巧用反例，概念辨析

数学概念是数学学科的根基和基础，是学生们数学学习的前提。在传统的数学概念教学中，我们往往通过正向证明和反复训练来达到深化学生理解的目的。但是，这样的做法只能帮助学生搞清数学概念“是什么”，对其“不是什么”的理解仍有欠缺。

例如，在进行单项式与多项式的辨析教学中，我为学生们提出了如下的问题。已知 、 、-5xyz，其中哪些属于单项式？首先，我们已经给学生们明确了单项式的定义，即是数字与字母的积组成的代数式。然后，我要求学生们尝试判断。有学生们回答， 、-5xyz是单项式， 不是；还有学生回答，-5xyz是单项式，其余的不是。学生们的答案五花八门，由此可见，对染学习了单项式的概念，但还缺乏对单项式的深入辨析教学。于是，我利用反例对学生进行引导教学。对于 ，我们可以将a视作与x、y、z类似的字母，将 看作数字，则可以判断 为单项式。对于 ，它可以视作数字1与字母x的商，则不是单项式。对于-5xyz，它可以看作-5与xyz的积，也是单项式。如此一来，通过上述的反例与正向概念辨析，学生们对单项式的概念与判断必然可以进一步深入理解。在今后遇到复杂形式的代数式，按照上述步骤进行分析，必然可以正确判断。

二、构造反例，简化证明

除了概念教学，反例的应用在中学数学公式、定理以及性质教学中也有重要的作用。在初中几何证明教学中，我们向学生们明确表态，要想证明一个定理的正确性，必须通过严密的逻辑论证的方式。但在判断某一定理的错误性，我们只需找出一个反例即可说明。

例如，在中学数学三角形全等的教学上，我们可以运用角边角、边角边、边边边等证明手段。但由于缺乏反例教学，学生们遇到类似的辨析题时依然难以做出正确选择。于是，我给出了以下的判断训练。

【例题】1.有两边和其中一边的对角对应相等的两三角形全等。

2.有三个角对应相等的两个三角形全等。

3.有两边及第三条边上的高相等的三角形全等。

【分析】在三角形全等的判断上，必须具备三个独立的条件。对于第一问，学生们在边角边的证明基础上必然难以理解。对此，我为学生们列举了一个反例，如图所示，AD=AC，∠C=∠D。显然，△ABD与△ABC并不全等。对于第二问，我们可以选取两个大小不同的等边三角形，由等边三角形的性质可知三角对应相等，而其边长不等，导致两三角形不全等。对于第三问，我们可以两个等腰三角形来说明，一个是锐角、一个钝角，很容易控制他们底边的高相等，而这两个三角形也不全等。通过上述反例的构造，学生们判断或证明上述定理的过程中，只要选取一个反例进行说明即可，有效简化了证明过程。

三、发现反例，纠正错误

很多时候，我们不需要刻意的去构造反例，学生们的作业中就会出现很多现成的反例。而且，这些反例更加具有代表性和说服性。通过作业批改过程中，我将学生们常见的一些错误制作成反例的形式展现出来，从而强化学生记忆，帮助学生及时纠正解题错误。

【例题】已知a、b是方程x2-2（k-1）x+k2=0有两个实数根，且a2+b2=4，试求k。

【分析】中学生们在大量的训练下，拿到本题的第一反应就是使用韦达定理。由题中已知条件可知，a+b=2（k -1）、ab=k2。此时，结合a2+b2=4可知，（a+b）2=a2+b2+2ab，即是（a+b）2= 4+2ab。于是，将上述表达式带入其中可得，2k2-8k+4=4，化简后即可得到k2-4k=0。最终，我们便可以求出k1=0、k2=4。此时，很多学生该题已经顺利完成了，内心除了激动就是开心。他们尚不知，若是此题是填空题，他们的得分为零。由于题中给出条件“方程有两个实根”，所以我们还需要对△值进行正确性验证。△=4（k-1）2-4k2，简化后的△=-8k+4。结合△≥0，我们可知k1=0（满足），k2=4（舍去）。即是k=0才是本题最终的正确答案。通过对本题的反例与正解的教学，学生们对方程未知数求解后的检验认识得到强化。同时，通过对学生们的褒贬，实现了对学生沉着冷静解题作风的培养，有利于学生解决一些复杂性、综合性的辨析题。类似的反例教学可以为学生们留下深刻的印象，给他们敲响警钟，这些作用都是正向教学所无可比拟的。

四、运用反例，获取真理

数学思维是数学学科的核心和灵魂，在中学数学教学中，有效的思维训练必不可少。受到传统数学教学模式的阻碍，中学生们普遍缺乏质疑和创新意识。很多时候，即是学生们发现教师的错误，他们也不愿意提出。对此，我们可以利用反例，强调真理发展的递进性。在日常的数学教学中，我们不妨故意设置一些反例的质疑点，引导学生发现问题所在，从而掌握数学思维。

总之，反例教学以其直观性、说服性、简明性等特点，已经赢得了广大中学数学教师的关注。对此，我们必须坚持反例的使用，在概念、案例学思维的训练上，灌输反例教学，鼓励学生突破传统解题思维的限制。

（作者单位：江苏省射阳县实验初级中学）