初中数学辅助线技巧浅略
2015-12-24
(河北省清河县杜林校区054800)
初中数学辅助线技巧浅略
宋桂珂
(河北省清河县杜林校区054800)
在初中数学的学习中,辅助线是一项重要学习内容,辅助线可以使现有图形构成新图形,形成新关系,使分散的条件集中,把问题解决,但是在实际应用中,辅助线的添加需要掌握一定的规律才能做到事半功倍,根据添加辅助线的位置可以分为分割型辅助线、延长型辅助线、平移型辅助线三类。下面分别举例说明。
一、分割型辅助线,顾名思义,就是把现有图形分割
1.已知AB平行于CD,BC平行于AD求证:CD=AB。
我们可以把图形进行分割,来实现这个证明方法。在四边形内添加一条分割辅助线AC。
证明:连接BD(或AC)
∵AB平行于CD BC平行于AD(已知条件)
∴∠1=∠2,∠3=∠4(根据:两直线平行,内错角相等)
在△ABC与△CDA中
∵∠1=∠2,∠4=∠3,CA=AC(已证明条件)
∴△ABC≌△CDA(根据角边角定理)
∴AB=CD(全等三角形的对应边相等)
总结:本例中,我们通过分割平行四边形为两个三角形,用三角形的知识来证明了平行四边形的对边相等。这是分割型辅助线的一个典型用法。
2.已知如下图:AB=CD,∠A=∠D求证:∠ABC=∠DCB。
我们可以把图形进行分割,来实现这个证明方法。在四边形内添加分割辅助线BN、MN和CN。
证明:取AD,BC的中点N、M,连接NB,NM,NC。则AN=DN,BM=CM,在△ABN和△DCN中
∵AN=ND(N为中点)∠A=∠D(已知条件)AB=CD(已知条件)
∴△BAN≌△CDN(边角边定理)
∴∠ABN=∠DCNBN=CN(全等三角形对应边和对应角相等)
在△NBM与△NCM中
∵BN=CN(已证明条件)BM=MC(M为中点)MN=NM(公共边)
∴△NBM≌△NCM,(边边边定理)
∴∠NBC=∠NCB(全等三角形对应角相等)
∴∠CNB+∠NAB=∠BNC+∠NDC即∠ABC=∠DCB。
本例中,我们通过分割梯形为三个三角形,证明了等腰梯形的角度问题。
二、延长型辅助线,顾名思义,就是把原有图形的线段或者图形延长,取得新图形,对问题进行证明
1.已知D为三角形ABC底边BC的中点,求证:AB+AC>2AD。
我们可以把将图形延长,来实现这个证明方法。在四边形内添加延长型辅助线DE和BE
证明:延长AD至E,使AD=DE,把EB连接,则2AD=AE
∵AD为△ABC的中线(已知条件)
∴BD=CD(三角形中线定义)
在△ADC和△BDE中
∵CD=BD(已证明条件)∠CDA=∠BDE(对顶角相等)ED=AD(辅助线作出)
∴△DAC≌△DEB(边角边定理)
∴EB=AC(全等三角形对应边相等)
∵在△ABE中有:BE+AB>AE(三角形两边之和大于第三边)
∴AB+AC>2AD。
2.已知如图:D、E为△ABC内任意两点,证明:AC+AB>BD+CE+DE.
我们可以将图形内部的线延长,形成规则的新图形来证明这个问题,方法有两种。
证明:(第一种方法)
将DE两边延长分别AB、AC和相交于点M、点N,在△ANM中,AN+AM>MD+NE+DE;
(1)在△BMD中,MD+MB>BD;
(2)在△CNE中,NE+CN>CE;
(3)由(1)+(2)+(3)得:AM+MB+AN+MD+ NE+CN>MD+NE+DE+CE+BD
∴AC+AB>BD+CE+DE
(第二种方法)
延长BD和AC交于F,廷长CE和BF交于G,在△AFB和△GCF和△GED中有:
AB+AF>BD+GF+DG(三角形两边之和大于第三边)(1)
GF+FC>GE+CE(同上)(2)
DG+GE>DE(同上)(3)
由(1)+(2)+(3)得:
AB+GF+AF+FC+GE+DG>BD+DG+GE+ GF+DE+CE
∴AB+AC>BD+DE+EC。
三、平移型辅助线,顾名思义,就是把原有图形进行平移,取得新图形,对问题进行证明
1.在直角梯形ABCD中,∠A=90°,DC平行于AB,AB=16,AD=15,BC=17。求CD的长。
我们可以把一边进行平移,解决这个问题。
解:过点D作DE平行于BC和AB交于点E。
∵AB平行于CD。
∴四边形BCDE是平行四边形。
∴DE=BC=17,CD=BE。
在△DAE中,由勾股定理,得出:
AE2=DE2-AD2,即AE2=172-152=64。
∴AE=8。
∴BE=AB-AE
∴BE=16-8=8。
得出CD=8。
2.如图,梯形ABCD的上底AB等于3,下底CD等于8,腰AD等于4,求腰BC的取值范围。
我们可以把一边进行平移,解决这个问题。
解:过点B作AD的平行线BM和CD相交于点M,
在△BMC中,BM=DA=4,
CM=CD-DM=CD-AB=8-3=5,
∴BC的取值范围是:
5+4>BC>5+4,即9>BC>1。
本文总结了初中数学中辅助线的三种常见类型,解析了辅助线常用的三种添加方法,但是法无定法,需要在练习时多作总结和归纳,灵活运用,三种类型可以单独使用,也可以组合使用,才能有的放矢地解决问题。
(责编 田彩霞)