张 微 孙梅兰 章玉泽 赵春影 严建国 王学为

（合肥学院数学与物理系，安徽 合肥 230601）

我们在讲授和学习解析几何课程的过程中深刻体会到传统的“只注重本课程理论体系的完整性”的方法，很难适应现在的人才培养要求。因此，我们对解析几何课程的学习模式从以下几个方面进行了探讨。希望能帮助学生学会学习该课程，增加学习兴趣，减少学习困难，让学生更快地、无障碍地进入后继课程的学习，熟练地将所学的解析几何知识应用于实际。

1 优化学习素材，提高学习效能

首先，我们根据学习和实习的经验，汇总了解析几何知识在后继课程和实际中应用较多的“点”，对这些知识点进行“强化”处理。将这些知识点在教材的有关章节中标注，一方面提醒教师在教学中力争对这些“点”讲多、讲深、讲透，并介绍它们在后继课程或实际中的作用；另一方面提醒学生在学习时重点关注。这样，不仅让学生对当下所学知识有更深的理解，而且让学生对未来要学的知识有初步的感知并产生好奇心，从而提高学生的学习热情。

例如，向量的外积在物理学中表示力矩、磁力、角动量等；参数方程是学生不够重视且比较怕学习的部分，但参数方程在数学分析等学科中有非常广泛的应用，如用于求解各类积分，参数方程还广泛地应用于生产实际中；学生以往常常忽视对空间区域的作图，认为可有可无，但会作图对求解重积分、曲面积分等是非常有用的。

再如，目前学习的二维、三维向量在代数中会推广到n 维；现在学习的平面间的位置关系可以用代数中线性方程组的解的结构理论来讨论、二次曲面的分类问题可以用代数中的二次型的理论来研究。

其次，对解析几何教材中在后继课程和实际中应用较少的知识点进行适当的“弱化”处理。比如，三向量的双重向量积等。

另外，我们还遴选了几本含有“应用型”实例的参考书，汲取不同教材中的精华，归纳它们的特点，为更好地学习该门课程开阔视野，总结如何利用这些参考书配合主教材进行自主学习的经验。

2 提炼解析几何课程中所蕴含的数学思想方法

有位哲学家指出：“即使是学生把教给他的所有知识都忘记了，但还能使他获得受用终生的东西的那种教育才是最高最好的教育。”数学思想方法就是数学教育中使学生受用终生的东西之一。我们根据在解析几何教与学中的经验，挖掘出解析几何课程中所蕴含的数学思想方法，这些思想方法可以使解析几何的教与学的高度得到极大的升华。解析几何中蕴涵着数形结合、化归、变换、类比、知识系统化等非常多的数学思想方法，这里仅以数形结合思想方法说明如下：

解析几何是体现数形结合思想方法的典范，其内容从始至终都贯穿着数形结合思想方法。教材的知识脉络基本如下：介绍了向量及其运算，把空间的几何结构向量化、代数化，从而把代数的方法引入到几何中来。又引入了坐标系，建立了空间向量的坐标与空间点的坐标，给出了向量各种运算的坐标表示，从而使向量的运算转化为数的运算，这样就把几何问题的讨论推进到了可以计算的数量层面；建立曲线、曲面与其方程的对应关系；在由平面和直线满足的几何条件建立起它们的方程后，用代数的方法研究点、线、面间的几何问题（位置问题、度量问题）；由柱面、锥面、旋转曲面的几何特征推导出它们的方程；通过对椭球面、双曲面与抛物面的标准方程的讨论得出它们的形状和一些几何性质；从二次曲线（面）的方程出发，通过代数运算，找出适当的坐标变换，得出二次曲线（面）的标准方程，从而能在平面上（空间中）确定它的位置，画出它的几何图形。[1]

下面，举例说明数形结合思想方法如何用于提高解题效率。

例1 已知两条异面直线l1，l2，证明：连接l1上任一点和l2上任一点的线段的中点在两直线的公垂线段的垂直平分面上。

解题思路：先建立空间直角坐标系，再写出l1,l2在此直角坐标系下的方程，最后证明l1上任一点与l2上任一点中点的坐标满足两直线的公垂线段的垂直平方面的方程。

上题是用代数方法解决几何问题。

例2 已知：x2+y2+z2=1，a2+b2+c2=1，求证：ax+by+cz≤1。

解题思路：由x2+y2+z2=1 知点(x,y,z)在以原点为球心的单位球面上；平面ax+by+cz=0 过原点；点(x,y,z)到平面ax+by+cz=0 的距离是此距离应该小于等于单位球面的半径，得出结论。

上例是用几何方法解决代数问题。

3 总结利用案例学习的经验

我们为解析几何的每个知识模块寻找了至少一个实际应用案例，分析如何利用这些案例来理解相关知识，如何建模并解决这些案例中的问题。通过所学知识的应用，扩展知识面，提高学习兴趣，增强分析与解决问题的能力。

例3[2]激光测量中的直线与平面问题

由激光知识可知，若图1 中光轴为z 轴，则由点P 的激光在平面π 上点Pi(xi,yi,zi)(i=1，…，n)的光强为：

式中的z0为点P 的竖坐标。

图1

由于平面π 过坐标原点，所以其方程可记为

图2

下面要求出A,B,z0，为此我们要在平面π 上确定若干点Pi(xi，yi，zi)(i=1，…，n)，为方便计算，构造如图2 中结构的边长为r 的组合等边三角形，将这些三角形的顶点作为Pi(xi，yi，zi)(i=1，…，n)点，要求出Pi(xi，yi，zi)(i=1，…，n)的坐标和A,B,z0共3n+3 个未知量，需要3n+3 个方程。由Pi(xi，yi，zi)(i=1，…，n)的坐标满足方程（1）和（3）式，会产生2n 个方程，还需要3n+3-2n=n+3 个方程。

图2 的结构中任意相邻两点间的距离均是边长r，此结构中共有(n-1)+(n-2)=2n-3(n≥2)条邻边，由此可得2n-3 个方程，所以令2n-3=n+3 有n=6。

因此，通过求解如下方程组：

求解上面的21 个方程得A，B，z0和Pi(xi，yi，zi)(i=1，…，n)的坐标。

上例可以作为“直线与平面”这部分知识的应用案例。

例4[3]飞机机翼的外形曲面

某型号飞机的机翼为直纹面，图3 表示两个平行截面之间的机翼外形。横截面的边界是两条参数闭曲线：

图3

对于同一参数u1，在两截面的边界线分别对应两点这两点之间的直线向量式方程为

其中(0≤v≤1)为参数。当u1从0→1 时，上直线就连续地描出一张直纹曲面，此直纹曲面的方程可以写为：

其中0≤u，v≤1 为曲面的参数。

上例作为学习“直纹曲面”这部分知识的应用案例。

4 总结如何利用信息技术学习解析几何的经验

我们探讨设计了一些该课程的数学实验项目。如运用Mathematica、Matlab 等软件制作“解析几何”中的曲面和曲线图形，通过动态演示形象地揭示几何概念的内涵，清晰地展现几何图形的构造和特点，增强学习的直观性和形象性，多角度、多侧面、多层次深化学习内容，从而增加课程的趣味性，激发同学学习的积极性，加深对知识的理解，取得传统式学习难以达到的效果。

例5[4]利用Matlab 画出的图像。

输入如下命令：[x，y]=meshgrid(-4：0.5：4);z=sqrt(x.^2+y.^2);surf(x，y，z)

运行结果为所求圆锥面的图像（略）。

本文是我们在实施安徽省大学生创新训练项目“解析几何模块化进程中创新学习方法的探索与实践”的过程中的收获和感悟。该项目的特色是首先考虑到解析几何课程的特点，再从学生自身学习的角度出发，希望在总结解析几何知识在后继课程和实际应用的基础上，探索出解析几何课程的创新学习方法并付诸实践。

［1］吕林根.解析几何学习辅导书[M].北京：高等教育出版社，2006.

［2］徐阳，杨兴云.空间解析几何及其应用[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2006.

［3］蒋大为.空间解析几何及其应用[M].北京：科学出版社，2004.

［4］汪晓银，邹庭荣，周保平.数学软件与数学实验[M].2 版.北京：科学出版社，2010.

［5］马淑云，王阳.解析几何教学中强化数学思想方法刍议[J].南阳师范学院学报，2011，10(3)：87-91.

［6］王颖.将解析几何融入线性代数教学中的思考[J].高师理科学刊，2013，33(4)：62-64.