向 宇，吴 琴

(湖北民族学院 理学院，湖北 恩施445000)

水资源是制约社会经济可持续发展的重要因素，然而近年来，随着我国国民经济的快速发展，水资源的需求量越来越大，水资源短缺问题也越来越严重［1］．因此在水资源总量有限的情况下，通过对用水量进行科学的预测分析，对制定未来水资源规划从而合理开发利用水资源具有重要的现实意义．

目前，国内外用水量预测的方法有多种，当数据序列较长时，各种数学建模方法基本均可获得满意的预测结果;但对于短期序列数据，由于数据量少、规律性不强，很多常规的预测方法便受到限制，存在预测结果的不准确性．而灰色预测模型具有对数据要求限制少、中短期预测精准等特点，从而在这方面则显示了一定的优越性［2－9］．

1 灰色预测理论

1．1 理论思想

世界充满了不确定性，经济、社会和科学技术等系统的组合，形成了这个复杂的大组合系统．由于复杂系统的内外扰动、信息获取成本的限制以及人类的认识水平局限性，人们所得到的关于系统的信息通常具有某种不确定性．尽管客观世界十分复杂，表述其行为特征的数据也可能杂乱无章，但是它必然是有序的，有某种功能的，有某种因果关系的［2］，或者说任何系统本身都有其内在规律，不过这些规律会被纷乱的现象所掩盖，被数据间这种杂乱无章的表象所迷惑［10－11］．而对系统的行为特征数据进行生成，就是试图从杂乱无章的现象中去发现内在的规律．灰色系统就是这样一种思想［12－13］．

1．2 灰色预测模型

灰色预测模型又称GM 模型，它是一组用微分方程给出的数学模型．

例如，原始数据数列X(0)=(1，2，1．5，3)，它并没有明显的规律性，将该数据作图如图1 所示．对该原始数据数列进行一次累加生成，将所得的新生成序列记为X(1)，则根据下文将要介绍的一次累加生成算子可以得出X(1)=(1，3，4．5，7．5)，将数据作图，如图2 所示．

图1 原始数据数列Fig．1 The original data

图2 一次累加数据数列Fig．2 The cumlative data

由图1 和图2 可以看出，X(0)的规律曲线是摆动的，并且起伏变化幅度较大，而X(1)呈现逐渐递增的形式，具有明显的增长规律性．这说明原始数据数列的波动趋势已经被明显的弱化，甚至可以设想用一条直线者或是一条指数曲线来逼近累加生成数列X(1)，以对数据进行更好的分析利用．

首先，设时间序列X(0)有n个观察值，X(0)={X(0)(1)，X(0)(2)，…，X(0)(n)}为原始非负时间序列，则称为序列的级比．在对原始数据进行处理之前，要先对其进行检验，当序列的级比满足时，该序列才可用于GM(1，1)建模．

接下来对原始数据进行如下累加:

于是生成了一个新的数据序列X(1)={X(1)(1)，X(1)(2)，…，X(1)(n)}，累加生成序列X(1)(t)归纳后可写为

将该式所表示的数据列称为原始数据列的一次累加生成，也可以将其简称作一次累加生成．新的生成序列一般近似地服从指数规律，因此它满足如下灰色预测的一阶常微分方程GM(1，1)，其白化形式为:

其中:a是常数，称作待辨识参数，也称发展系数，是对系统的常定输入;b为待辨识内生变量，也称灰作用量．

其中:

由此可以得出a和b的值．该微分方程的解(也称时间响应函数)为

GM(1，1)微分方程中如果以X(0)(1)作为初始条件，则得该微分方程的时间响应序列(即预测模型)为:

2 灰色预测模型在全国用水量预测中的应用

2．1 数据的收集

通过中国国家统计局的统计年鉴获得2000－2012 年的全国用水情况，见表1．

表1 2000－2012 年全国用水情况Tab．1 The national water consumption from 2000 to 2012

2．2 用水量预测模型的建立

2．2．1 GM(1，1)模型的建立 由表1 看出，在2003 年以前是没有生态用水的，所以采用2003－2012 年的数据作为原始数据．则时间序列X(0)有10 个观察值，并且原始非负时间序列为:

而序列的级比可以求出，为:

由于序列的级比满足σ(t)∈(0．833 752 918，1．199 396 102)，t=2，3，4，5，6，7，8，9，10，故该序列可用于GM(1，1)建模．通过一次累加生成来对原始数据序列进行处理，生成一个新的数据序列，即:

构造数据矩阵B及数据向量Y:

由最小二乘法，通过Matlab 编程计算得:

于是得到a=－0．012 42，b=5 493．5．

则以相应的一阶常微分方程建立GM(1，1)模型:

求解微分方程，即可得到预测模型:

再通过累减生成将预测值还原，即为:

可得还原值:

通过Matlab 软件进行运算可以得出该模型的残差值及相对误差值，结果见表2．

表2 GM(1，1)模型检验表Tab．2 The test table of GM(1，1)

可以根据上表求出其平均相对误差及模型精度:

从这里可以看出，该模型的精度较高，可以使用其对全国用水量进行预报和预测．

再将t=10，11，12 代入预测模型则可以得出:

于是:

即得到2013、2014、2015 年的全国总用水预测量将分别达到6 255．9、6 334．0、6 413．2 亿m3．

2．2．2 带有弱化算子的灰色预测模型 原始数据的处理方法有很多种，一般在GM(1，1)模型中所使用的都是一次累加生成法来处理，这里在使用一次累加生成法之前先进行弱化算子变换对原始数据进行一次处理．

设X(0)是原始数据序列，d是缓冲算子，当X(0)为单调递增、单调递减或波动序列时，若缓冲序列Xd比原始序列X(0)的递增速度(或递减速度)减缓或波动减少，就将缓冲算子d称作弱化算子．

对原始数据序列进行一阶缓冲算子作用，可以得到:

再对其进行二阶缓冲算子作用，得到二阶弱化缓冲作用序列为:

而该序列的级比可以求出，为:

由于序列的级比满足σ(t)∈(0．833 752 918，1．199 396 102)，t=2，3，4，5，6，7，8，9，10，故该序列可用于GM(1，1)建模．

接下来，通过一次累加生成来对原始数据序列进行处理，生成一个新的数据序列，即:

构造数据矩阵B及数据向量Y:

于是得到a=－0．0024 7，b=6 004．7，则以相应的一阶常微分方程建立GM(1，1)模型:

求解微分方程，即可得到预测模型:

再通过累减生成将预测值还原，即为:

可得还原值:

接下来再通过Matlab 软件进行运算可以得出该模型的残差值及相对误差值，结果见表3．

表3 弱化算子变化后的GM(1，1)结果Tab．3 The GM(1，1)result after weakeaing operator transformation

2．2．3 两种模型的比较 可以根据上表求出其平均相对误差及模型精度，并将其与未经过二阶缓冲算子作用的原始数列所得出的结果进行对比，见表4．

根据表4 可以看出，根据经过二阶缓冲算子作用之后的数据所建立的GM(1，1)模型预测效果也比较好，甚至比根据未经过处理的数据所建立的GM(1，1)模型还要有所提高．

表4 两种模型情况比较Tab．4 Comparison between the two models

3 结论

本文根据中国国家统计局发布的2000－2012 年全国用水情况数据，结合GM(1，1)模型，建立出全国总用水量的预测模型，预测结果经验证得平均相对误差仅为0．41%，精度为99．6%，精度较高，运行可靠，模拟结果可信，以此预测模型计算出2013－2015 年的全国用水情况分别为6 255．9、6 334．0、6 413．2 亿m3，以实例证明了灰色预测模型的实用性．同时又对初始数据进行了弱化算子变换，再对经过该变换处理后的数据进行了GM(1，1)建模，得到的预测结果经检验得平均相对误差仅为0．31%，精度为99．7%．由此而得出结论:对于经过弱化算子变换的初始数据建立模型比未经过处理的初始数据建立模型所得的结果要更精准一些［3］．

［1］ 娜仁花．水资源优化配制研究进展［J］．内蒙古民族大学学报:自然科学版，2014，29(6):640－641．

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［6］ 李小力，李言俊，张科．改进的灰色预测模型在导弹中的应用［J］．计算机仿真，2010(8):33－36．

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［13］ 王少东，方光秀．基于灰色理论与Usher 曲线的PHC 管桩单桩竖向极限承载力预测［J］．延边大学学报:自然科学版，2014，40(4):360－362．