酉群与正交群和辛群之间的关系

2015-12-03

怀化学院学报 2015年5期

(临沧师范高等专科学校数理系，云南临沧 677000)

1 预备知识

历史上对群的研究最早是从置换群和变换群开始的，1771年Lagrange 自发地采用置换群以解决用根式解代数方程的问题.1799年Ruffin，1824年Abel 继续这一工作，直到1830年，Galois 自觉地应用群的思想(群的术语就是他首先引进的)彻底解决了这一问题，1872年推出了著名的Erlangen 纲领，用对变换群来对几何学分类.到19世纪末，人们意识到，在数学的不同领域中独立存在的群论思想，在原则上是统一的.这种想法引起了研究抽象群的概念.Kelly，Frobenius，Dyck 等最早从事抽象群的研究，Schmidt 于1916年出版了《抽象群论》一书.于是群论成为代数学的一个重要分支，而有些不同的典型群之间有着密切关系，搞清楚他们之间的关系是非常有必要的.

n 维欧几里得空间V 上所有正交变换组成的集合只有一种运算:乘法，它满足结合律，恒等变换属于这个集合，这个集合的任一元素可逆且逆元素也在这个集合中.类似地，n 维酉空间上所有酉变换组成的集合，域F 上n 维正则的正交空间上所有正交变换组成的集合，特征不是2的域F 上2r 维正则辛空间上所有辛变换组成的集合都具有这样的性质.

定义[1]设G是一个非空集合，如果在G 上定义了一种代数运算，叫做乘法并且满足以下法则:

1° a(bc)= (ab)c，a，b，c ∈G(结合律)

2° G 中有一个元素e，使得ea=ae=a，a ∈G

3° 对于G 中每一个元素a，都有G 中一个元素b，使得ab=ba=e，那么G 称为一个群.

实数域上所有2r级正交矩阵组成的集合对于矩阵乘法构成一个群，称它为实数域上的2r级正交群，记录O(2r).

所有r级酉矩阵组成的集合对于矩阵乘法组成的一个群，称它为r级酉群，记为U(r).

特征不为的域R 上2r级辛矩阵的全体，对于矩阵乘法组成一个群，称它为2r级辛群，记作Sp(2r，R).

2 主要结论

结论 U(r)= O(2r)∩Sp(2r，R).

证明 r 维复线性空间Cr中元素X=(a1+b1i，…，ar+bri)'可以写成

于是Cr可以看成是2r 维实线性空间，记作V，它是一个基为ε1，ε2，…，εr，iε1，iε2，…，iεr.于是同一个记号C 即可表示r 维复线性空间Cr的元素，又可表示2r 维实线性空间V的元素.

任给一个r级复矩阵P，可定义复线性空间Cr上的一个线性变换P:P(X)= PX，X ∈Cr，又可定义2r 维实线性空间V 上的一个线性变换珘P:

在复线性空间Cr中定义标准内积(即X，Y)c=Y*X 成为一个酉空间.

在2r 维实线性空间V 中定义内积如下:设

规定

则V 成为一个2r 维欧几里得空间.

在2r 维实线性空间V 中，定义一个双线性函数f，它在V的基ε1，…，εr，iε1，iε2，…，iεr下的度量矩阵A为

由于A是可逆斜对称矩阵，因此f是非退化的斜对称双线性函数.从而(V，f)成为一个2r 维正则辛空间，f是(V，f)上的辛内积，对于上述X，Y，有

于是有

设P是Cr上的线性变换，按前面所述，它也表示V 上的一个线性变换，利用(5)式可以得出:

因此在对于有两种理解的约定下，我们可以写成

由于U(Cr)U(r)，O(V)O(2r)，Sp(V，f)Sp(2r，R).因此在上述约定下，可以写

对于(6)式的理解如下:任给一个r级酉矩阵P，可以按上述方法得到一个2r级正交矩阵Q，并且Q是2r级辛矩阵;反之，任给一个2r级正交矩阵Q，如果Q 也是2r级辛矩阵，那么可得到一个r级酉矩阵P.

证明揭示了酉群U(r)与正交群O(2r)和辛群Sp(2r，R)之间的关系，这是很深刻的一个结果.证明的关键之一是把r 维复线性空间Cr看成2r 维复线性空间，记作V;关键之二是证明了(5)式，即酉空间Cr的标准内积(X，Y)C与2r 维欧几里得空间V的内积，2r 维辛空间(V，f)的辛内积之间的关系.

为了帮助读者理解结论，例如，在U(2)中取一个元素bφ，设X=(a1+b1i，a2+b2i)'∈C2.C2可看成4 维实线性空间，记作V，X可写成