魏文婷，么焕民

(哈尔滨师范大学)

0 引言

利用数值计算方法通过求解双曲型守恒律方程初值问题，相继出现了很多差分格式，如TVD(Total Variation Diminishing)型差分格式［1］、ENO(Essentially Non-oscillatory)格式［2］、WENO 格式［3-4］等．此后，Pirozzoli［5］提出了紧致-WENO 型混合格式，随后，Ren等人［6］对 Pirozzoli提出的混合格式进行了改进，武从海等［7］又做了进一步改进，不仅得到了良好的间断分辨率，而且保证了数值计算的效率．该文将通过对比分析，对原混合格式中的紧致格式进一步改进，在原紧致-WENO型混合格式的基础上提出一种新型混合差分格式．

1 紧致格式

紧致格式因其所需的模板点数少、分辨率高的特点一直是人们研究的重点，下面给出两种紧致格式以及由该两种紧致格式构造的混合紧致格式:

五阶迎风紧致格式:

六阶中心紧致格式:

武从海［8］根据六阶中心紧致格式有非物理振荡无耗散而五阶迎风紧致格式无非物理振荡耗散偏大的特点，考虑使用两种格式的加权平均来得到一个理想的差分格式，集合两种格式的优势并弥补了一定的不足，其采用六阶中心紧致格式所用的模板，将格式的精度降到五阶，得到一组混合紧致格式:

当α=0时，上式为六阶中心紧致格式;当α=±1时，上式为五阶迎风紧致格式．

文献中通过对耗散误差和相位误差的分析得出，当α=-0．5时，(3)式显示出了相对较好的性能，因而得到了相应的五六阶混合紧致格式通过进一步分析显示，与五阶迎风紧致格式相比具有更低的耗散性和更精确的数值计算结果．

2 一种新的混合格式的提出

2．1 一种新的混合格式的构造

根据 Ren 等人［6］对 Pirozzoli［5］提出的五阶迎风紧致格式和五阶WENO格式组合而成的混合格式进行了改进，构造了一种新的混合格式，具体形式如下:

五六阶混合紧致格式:

根据Ren等人的混合方法，对(5)和(6)按照(4)进行加权平均，权系数分别为σ和1-σ，当权系数σ分别取1和0时，混合格式便化简为五六阶混合紧致格式和五阶WENO格式，同时根据混合格式的建立原则，权系数σ由流函数的光滑程度确定，计算方法为

2．2 误差分析和稳定性分析

利用文献［5］中的误差分析方法分别对五阶迎风紧致格式、六阶中心紧致格式以及五六阶混合紧致格式进行误差分析．从图1和2中，在高波数范围内，根据相应格式的耗散误差变化可以看到六阶中心格式无耗散，五六阶混合紧致格式的耗散误差要比五阶迎风紧致的小很多，从而说明五六阶混合紧致格式具有更低的耗散性．五六阶混合紧致格式的色散误差略小于六阶中心格式而稍大于五阶迎风紧致格式，但其较低的耗散性使其具有更高的分辨率．

图1 不同混合紧致格式的kr随α的变化

图2 不同混合紧致格式的ki随α的变化

利用文献［5］中介绍的稳定性分析方法分别对上述三种紧致格式进行稳定性分析，得到图3．为了使紧致格式达到稳定性条件的要求，分别得到了三种紧致格式σ的最大值，σ=cλ=cΔt/Δx是 CFL(Courant，Friedrichs，Lewy)数(一个差分格式稳定性和收敛性的判据)．在图3中，点划线表示五阶迎风紧致格式，虚线表示六阶中心紧致格式，双划线表示五六阶混合紧致格式，则对应的稳定性范围分别为 σ≤1．034、σ≤1．422、σ ≤1．421．由此可见，五六阶混合紧致格式的稳定性范围远大于五阶迎风紧致格式而略小于六阶中心紧致格式．五六阶混合紧致格式比五阶迎风紧致格式具有更大的稳定性范围．

新型混合格式主要是基于前面提到的五阶迎风紧致格式和五阶WENO格式组合而成的混合格式提出的，其最大的特点就是采用混合型的紧致格式来替换原混合格式中单一的五阶迎风紧致格式．根据2．2的分析可知，五六阶混合紧致格式比五阶迎风紧致格式具有更高的分辨率和数值稳定性．因此，新型混合格式在进行数值求解时，具有相对较高的分辨率和数值稳定性．

图3 三种不同混合格式的稳定性范围

3 结束语

该文利用误差分析方法和稳定性分析方法对五阶迎风紧致格式、六阶中心紧致格式、五六阶混合紧致格式进行了误差对比分析和稳定性对比分析．通过分析发现，混合紧致格式表现出了比单一紧致格式更加优良的数值计算特性．因此，将五六阶混合紧致格式替换原紧致 -WENO型混合格式中的五阶迎风紧致格式，便得到了具有较高分辨率和稳定性的新型混合差分格式．

［1］ Harten A．High resolution schemes for hyperbolic conservation laws［J］ ．Journal of computational physics，1983，49(3):357-393．

［2］ Harten A，Engquist B，Osher S，Chakravarthy S R．Uniformly high—order accurate essentially non—oscillatory shock-capturing schemes III．J Comput Plays，1987，71:231-323．

［3］ Liu X D，Osher S，Chan T．Weighted essentially non—oscillatory shock-capturing schemes J Comput Phys，1994，115:200-212．

［4］ Jiang G S，Shu C W．Efficient implementation of weighted ENO schemes［J］．Journal of computational physics，1996，126(1):202-228．

［5］ Pirozzoli S．Conservative hybrid compact-WENO schemes for shock-turbulence interaction［J］．Journal of Computational Physics，2002，178(1):81-117．

［6］ Ren Y X，Liu M，Zhang H．A characteristic-wise hybrid compact-WENO scheme for solving hyperbolic conservation laws［J］．Journal of Computational Physics，2003，192(2):365-386．

［7］ 武从海，赵宁，田琳琳．一种改进的WENO混合格式［J］．空气动力学报，2013，31(4):477-484．

［8］ 武从海．流体力学高精度高分辨率差分格式的研究［D］．南京航空航天大学，2012．