何松华 朱燕 张军

摘要：针对时空相关K分布（CKD）杂波背景中扩展目标的滑窗积累检测（SWAD）与顺序统计滑窗积累检测（OSSWAD）的性能分析问题，采用广义K分布拟合、矩匹配、相关数据中的有效样本尺寸估计以及分数阶顺序统计等方法，获得了零假设条件下检验统计量的概率分布函数的拟合表达式，建立了虚警概率、恒虚警检测门限以及杂波参数之间的关系方程，并通过蒙特卡罗仿真实验对各种概率分布函数的拟合精度以及给定检测门限下的虚警控制精度进行了评估。理论分析与仿真实验表明本文提出的方法是合理和有效的。

关键词：K分布；相关杂波；扩展目标；目标检测；顺序统计

中图分类号：TN958 文献标识码：A

在高分辨雷达中，杂波用K分布进行拟合时可以获得较好的拟合精度＼[1-3＼]，因此，K分布杂波背景中的目标检测方法研究对于宽带高距离分辨力雷达以及合成孔径雷达具有重要意义。但是，目前的检测方法及其性能分析主要针对K分布杂波背景中的点目标或高斯杂波背景中的扩展目标＼[1＼]，相关K分布（CorrelatedK Distribution， CKD）杂波背景中的扩展目标检测方法及其检测性能分析依然是一个没有完全解决的问题。

对于高分辨雷达，由于实时性要求以及计算资源的限制，CKD杂波参数以及扩展目标多散射中心参数的最大似然估计难以实现，最优检测方法难以应用。因此，在制导雷达中，一般采用次优的、低运算开销的目标检测方法，距离滑窗积累检测方法就是其中的重要方法之一＼[4＼]。距离滑窗积累检测方法目前存在的一个重要问题是：对于相关非高斯分布，积累检测统计量的概率分布难以推导，这给检测性能的分析以及检测门限的合理设置带来一定的困难。

湖南大学学报（自然科学版）2015年

第10期何松华等：相关K分布杂波中扩展目标积累检测性能分析

本文针对滑窗积累以及顺序统计滑窗积累两种检测方法，基于广义K分布拟合、矩匹配、相关数据中的有效独立数据以及分数阶顺序统计等方法，推导了CKD杂波、零假设条件下检验统计量的概率密度分布的拟合表达式，给出了虚警概率以及恒虚警检测门限的估算方法，并通过理论分析与仿真试验证明了本文方法的有效性。

1CKD杂波中目标检测的信号模型

设雷达在第n周期获得的复值一维距离像数据为{x（m，n）|m=0，1，…，M-1；n=0，1，…，N-1}，m为距离分辨单元序号。如果存在目标，则目标在一维距离像中可能占据多个距离分辨单元。此时，对于非稀疏目标，目标信号可以表示为：

q（m，n）=qR（m，n）+jqI（m，n），m1≤m≤m2，0≤n≤N-1；

0，otherwise。（1）

式中：m1和m2分别为扩展目标在径向距离方向的起始序号及终止序号；j=-1。

根据CKD分布杂波模型，时空相关杂波信号可以表示为：

ε（m，n）=ηm，n[wR（m，n）+jwI（m，n）]。（2）

式中：wR（m，n）和wI（m，n）分别为零均值和单位方差正态分布随机过程，并假设实部随机过程wR（m，n）与虚部随机过程wI（m，n）相互独立；ηm，n为满足形状参数为v，尺度参数为b的Gamma分布随机变量。其概率密度分布形式为：

fηm，n（τ）=bvΓ（v）τv-1exp（-bτ），τ≥0。（3）

假设对不同的m或n，这些Gamma分布随机变量之间是相互独立的；因此，杂波的时空二维相关性通过wR（m，n）或wI（m，n）的相关函数来体现。容易证明：杂波幅度|ε（m，n）|服从如下K分布＼[5＼]：

f|ε（m，n）|（ξ）=2bΓ（v）2v-1（2bξ）vKv-1（2bξ），

ξ≥0。（4）

式中：Kv-1（）为第2类v-1阶修正的贝塞尔函数。

目标检测问题归结为如下假设检验问题：

H0：x（m，n）=ε（m，n），0≤m≤M-1；

0≤n≤N-1；

H1：x（m，n）=

ε（m，n），0≤mm2；0≤n≤N-1；

q（m，n）+ε（m，n），

m1≤m≤m2；0≤n≤N-1。

假设目标最大可能的径向长度以及最小可能的径向长度分别为mDmax，mDmin，即

mDmin≤m2-m1≤mDmax。

假设ε（m，n）为白色高斯随机过程，假设目标散射截面分布的稀疏性不是很严重，则根据约束情况下经典线性模型的最大似然检测理论[4]，对目标径向起始单元m1，可以按图1构造假设检验问题所对应的最优检验统计量：

TG（X，m1）=∑N-1n=0∑m1+mDmin-1m=m1x（m，n）2∑N-1n=0∑m1-1m=0x（m，n）2+∑N-1n=0∑M-1m=m1+mDmaxx（m，n）2。 （5）

式中：分子为检验区累积信号功率；分母为参考区累积信号功率。如果ε（m，n）为相关、非高斯随机过程或目标散射截面的分布比较稀疏，则上述检测器不是最优的。由于结构简单、运算开销低，依然用于制导雷达目标检测等实时应用情况。考虑到在实际应用过程中，杂波可能存在非均匀性，参考区离检验区不能太远，也不能太近，一般将图1进行修正，如图2所示。

图1m1单元检测框图

Fig。1Testing block diagram of cellm1

图2修正的m1单元检测框图

Fig。2Modified testing block diagram of cellm1

在式（5）基础上，对单元功率进行归一化，修正如下：

T（X，m1）=

1NMDmin∑N-1n=0∑m1+mDmin-1m=m1x（m，n）21NM′∑N-1n=0∑m1-M″/2m=m1-M″/2-M′/2x（m，n）2+∑N-1n=0∑m1+mDmin+M″/2+M′/2m=m1+mDmin+M″/2x（m，n）2。（6）

式中：M′/2为左右两端参考区的分辨单元数；M″/2为检验区两侧的保护区单元数（M″>mDmax-mDmin）。采用滑窗方式对m1从小到大进行搜索，如果对于某个m1，TG（X，m1）超过某个检测门限，则做出如下判断：存在以m1为起始单元、最大可能长度为mDmax、最小可能长度为mDmin的扩展目标。

对于强干扰（假目标干扰）及多目标情况，为了过滤检验区两端的强干扰，避免强干扰抬高参考区的功率电平导致检测性能下降，可以在参考区采用顺序统计，此时的检验统计量修正为：

TL（X，m1）=1NmDmin∑N-1n=0∑m1+mDmin-1m=m1x（m，n）2SL（m1）。（7）

将参考区每个单元的功率按从小到大的排序，即：

Ω=[m1-M″/2-M′/2，m1-M″/2]∪[m1+mDmin+M″/2，m1+mDmin+M″/2+M′/2]。

设其中排序为第L的功率值1N∑N-1n=0|x（m，n）|2为SL（m1）。

2CKD杂波中滑窗积累检测器的性能分析

基于滑窗积累的距离扩展目标检测需要解决的一个重要问题是CKD杂波情况下的检测门限设计与检测性能分析。严格来讲，多个CKD随机变量之和的概率密度分布的推导是很困难的。但是，在检测系统中，必须建立虚警概率与检测门限以及检测门限与杂波参数（形状/尺度参数、时间/空间相关系数等）之间的关系方程，以便目标检测器根据不同杂波参数实时地选择合适的检测门限；要建立上述关系方程，必须对检验统计量的概率密度分布函数进行精确、合理的近似。

将多个K分布随机变量之和的概率密度分布用恰当参数的GKD来拟合时，概率分布函数之间的误差可以忽略不计＼[6＼]。因此可采用GKD拟合法对检测性能进行准确、合理地预估。遗憾的是，目前尚未建立GKD的参数与空/时二维CKD参数之间的定量关系。本文采用矩匹配方法给出了GKD的参数与空/时CKD杂波参数之间的关系。设rw（α，β）为K分布杂波散斑分量wR（m，n）或wI（m，n）的二维时空自相关函数，假设其满足如下平稳性质：rw（α，β）=E[wR（m+α，n+β）wR（m，n）]。进一步假设二维时空相关是可分离的，则二维相关函数可简化为：

rw（α，β）=e-|α|/ae-|β|/b。（8）

式中：a，b分别为杂波的归一化相关距离（杂波相关距离/距离分辨单元宽度）以及归一化相关时间（杂波相关时间/距离像序列的周期）。

根据式（3），即gamma分布矩特征可知：

E[ηm，n]=∫

SymboleB@ 0τfηm，n（τ）dτ=vb；

E[ηm，n2]=v2b2+vb2；

D[ηm，n]=E[ηm，n2]-（E[ηm，n]）2=vb2。

联合零均值、单位方差正态分布随机过程矩特性，推导出式（2）即时空CKD杂波具有如下矩特性：

E[|ε（m，n）|2]=E[ηm，n]E[w2R（m，n）+

w2I（m，n）]=2vb。（9）

E[|ε（m，n）|4]=E[η2m，n]×

E{[w4R（m，n）+2w2R（m，n）w21（m，n）+

w41（m，n）]2}=8v2b2+8vb2。（10）

D[|ε（m，n）|2]=E[|ε（m，n）|4]-

{E[|ε（m，n）|2]}2=4v2b2+8vb2。（11）

将式（6）的分子、分母同乘b/2v（K分布杂波平均功率的倒数）进行归一化，并将归一化的分子、分母分别用ST，SC表示。

在零假设（无目标）下，ST可以用形状参数为β1=βT1，β2=βT2=NmDmin（每个分辨单元的累积次数，与文献＼[7＼]中的次数类似）、尺度参数为bg=bT的GKD随机变量来拟合，其概率密度分布函数为＼[1，5＼]：

f（β1，β2，bg；ξ）=

2Γ（β1）Γ（β2）bβ1+β2gξ（β1+β2）/2-1Kβ2-β1（2bgξ）。（12）

根据式（6） （并利用时空CKD杂波的矩特性）以及GKD的概率密度分布式（12）求ST的数学期望与方差的表达式，根据矩匹配原理，即

E[ST]=βT1βT2/b2T；

D[ST]=βT1βT2b2T21βT1+1βT2+1βT1βT2。

计算得到：

βT1=NmDmin（NmDmin+1）v/{2NmDmin+

v×∑m，u∈[0，MDmin-1]m≠uk，t∈[0，N-1]r2w（|m-u|，|k-t|）+

v×mDmin∑k，t∈[0，N-1]k≠tr2w（0，|k-t|）}。（13）

bT=βT1βT2。（14）

同理，SC可以用一个形状参数为β1=βC1，β2=βC2=NM′，尺度参数为bg=bC的GKD随机变量来拟合，其概率密度分布函数同式（12）。根据矩匹配原理容易得到：

βC1=NM′（NM′+1）v/{2NM′+

v×∑m，u∈Ωm≠uk，t∈[0，N-1]r2w（|m-u|，|k-t|）+

v×M′∑k，t∈[0，N-1]k≠tr2w（0，|k-t|）}；（15）

bC=βC1βC2。（16）

可以证明，参数为β1，β2，bg的GKD随机变量的累积分布函数为＼[7＼]：

F（β1，β2，bg；ξ）=πcsc[π（β2-β1）]×{（b2gξ）β1[1F2（β1；1+β1-β2，1+β1；b2gξ）]Γ（β2）Γ（1+β1-β2）Γ（1+β1）-（b2gξ）β2[1F2（β2；1+β2-β1，1+β2；b2gξ）]Γ（β1）Γ（1+β2-β1）Γ（1+β2）}，ξ≥0。（17）

式中：pFq（·）为超几何函数。

由于检验区与参考区之间相隔一定的间隔，忽略它们之间的相关性，根据两个随机变量之商的概率密度关系，可以得到虚警概率PF1（ST>rD1SC的概率）与检测门限rD1的关系方程为：

∫

SymboleB@ 0∫

SymboleB@ ξ rD1f（βT1，βT2，bT；ξ1）dξ1×f（βC1，βC2，bC；ξ）dξ}=

∫

SymboleB@ 0{f（βC1，βC2，bC；ξ）×[1-F（βT1，βT2，bT；ξ rD1）]dξ}=

PF1。（18）

运用GKD函数的数值积分计算方法，可以针对给定的PF1以及不同形状参数或相关系数，以离线方式计算rD1并以表格形式存储于雷达存储器中，通过查表及内插运算就可以根据实时估计得到的杂波参数选择合适的检测门限。

3CKD杂波中顺序统计滑窗积累检测器

的性能分析

在式（12）-（14）中，令mDmin=1，每个杂波单元的功率平均值乘以系数b/2v后可以用参数为β1=βA1，β2=βA2=N，Bg=bA的GKD来拟合，即

βA1=N（N+1）v2N+v∑k，t∈[0，N-1]k≠tr2w（0，|k-t|）；（19）

bA=βA1βA2。（20）

在考虑相关性的情况下，假设M′个相关数据所包含的信息相当于Me′独立数据所包含的信息，Me′

fL（βA1，βA2，bA；ξ）=Γ（Me′+1）Γ（L′）Γ（Me′-L′+1）×

FL′-1（βA1，βA2，bA；ξ）×

[1-F（βA1，βA2，bA；ξ）]Me′-L′×

f（βA1，βA2，bA；ξ），ξ≥0。（21）

显然，在式（21）中并不限定Me'，L'为整数，本文称之为相关数据的分数阶顺序统计。对于上述分数阶顺序统计，容易得到SL（m1）的累积分布函数分别为：

FL（βA1，βA2，bA；ξ）=∫ξ0fL（βA1，βA2，bA；θ）dθ=

Γ（Me′+1）Γ（L′）Γ（Me′-L′+1）×

∫F（βA1，βA2，bA；ξ）0sL′-1（1-s）Me′-L′ds。（22）

Me′称为相关数据的有效样本尺寸，文献＼[8-9＼]表示，Me′/M′可以定义为独立情况下样本均值的方差与相关情况下样本均值的方差之间的比值，将上述原理推广到本文的CKD杂波背景中的滑窗积累顺序统计检测情况，可定义为：

Me′=M′×D∑m∈Ω∑N-1n=0|x（m，n）|2|独立变量

D∑m∈Ω∑N-1n=0|x（m，n）|2|相关变量。

根据GKD分布的统计性质容易推导得到：

M′e=M′×[2+vv+1N∑k，t∈[0，N-1]k≠tr2w（0，|k-t|）+

M′-1N∑k，t∈[0，N-1]r2w（

SymboleB@ ，|k-t|）]/

[2+vv+1N∑k，t∈[0，N-1]k≠tr2w（0，|k-t|）+

1NM′∑m，u∈Ωm≠uk，t∈[0，N-1]r2w（|m-u|，|k-t|）]。（23）

当检验区与参考区之间的间隔足够远时，忽略它们的相关性，则虚警概率PF2（ST>rD2SL（m1）的概率）与检测门限rD2的关系为：

∫

SymboleB@ 0{∫

SymboleB@ ξ rD2f（βT1，βT2，bT；ξ1）dξ1×

fL（βA1，βA2，bA；ξ）dξ}=

∫

SymboleB@ 0{[1-F（βT1，βT2，bT；ξrD2）]×

fL（βA1，βA2，bA；ξ）dξ}=PF2。（24）

运用数值积分计算方法，可以针对给定的PF2，得到检测门限与杂波形状参数或相关系数之间的关系。

4仿真结果举例

根据某典型应用背景，设定仿真参数如表1所示。

表1仿真参数

Tab。1Simulation parameter

目标最大/小径向长度

mDmax

/mDmin

参考区M′

/保护区长度M″

积累周期

数N

10/5

12/8

10

杂波归一化相关距离a

/相关时间b

杂波形状v

/尺度参数b

顺序统计排序

长度L

2。5/2

1/2

5

在每一次蒙特卡罗仿真实验中，按照文献＼[10＼]提供的空时CKD的仿真方法生成二维复数相关杂波数据{x（m，n）|m=0，1，…，24；n=0，1，…，9}，共进行105次蒙特卡罗实验，以m∈[10，14]为检验区，以m=[0，5]∪[19，24]为参考区，m∈[6，9]∪[15，18]为检验区与参考区之间的保护区。对变量ξ1=150∑9n=0∑14m=10|x（m，n）|2值进行采样与频数统计，得到累积分布函数（CDF）为G1（ξ1）；对变量ξ2=1120∑9n=0∑m∈Ω|x（m，n）|2值进行采样与频数统计，得到累积分布函数为G2（ξ2）；每次实验中，对参考区的所有m，计算110∑9n=0|x（m，n）|2，将M′个值从小到大排列，得到排序为第L的值ξ3，对该值进行采样与频数统计，得到累积分布函数G3（ξ）。

按矩匹配公式计算得到：βT1=8。958 1，βT2=50，bT=21。163 8；βC1=23。087 5，βC2=120，bC=52。635 5；βA1=3。691 5，βA2=10，bA=6。075 8；Me′=7。652，L′=3。188 5。

采用数值积分方法分别计算F（βT1，βT2，bT；ξ），F（βC1，βC2，bC；ξ），FL（βA1，βA2，bA；ξ）。

图3为检验区统计量ST的累积分布函数G1（ξ）（仿真）与F（βT1，βT2，bT；ξ）（拟合）的对比图，图4为参考区统计量SC的累积分布函数G2（ξ）（仿真）与F（βC1，βC2，bC；ξ）（拟合） 的对比图，图5为参考区顺序统计量SL（m1）的累积分布函数G3（ξ）（仿真）与FL（βA1，βA2，bA；ξ）（拟合）的对比图。结果表明，二者之间具有高度的一致性，说明本文提出的基于矩匹配的GKD拟合方法以及基于独立数据长度及分数阶顺序统计的拟合方法是有效的。

仿真数据x

图3ST的累积分布函数的仿真与GKD拟合比较

Fig。3Comparison between simulated

and GKD fitted CDF of ST

仿真数据x

图4SC的累积分布函数的仿真与GKD拟合比较

Fig。4Comparison between simulated

and GKD fitted CDF of SC

仿真数据x

图5SL（m1）的累积分布函数的仿真与拟合比较

Fig。5Comparison between simulated

and fitted CDF of SL（m1）

由表1中参数以及式（18）（24）得到虚警概率检测门限拟合曲线，根据蒙特卡罗实验统计得到虚警概率检测门限仿真曲线。图6给出了2种检测器的拟合曲线与仿真曲线的对比图。由图6可知，仿真曲线与拟合曲线基本一致，表明本文提出的拟合方法可以设计出合理的检测门限、对虚警概率进行有效的控制。

检测门限RD

图6虚警概率检测门限曲线的仿真与拟合比较

Fig。6Comparison between simulated and fitted curves

of false alarm ratedetection threshold

5结论

采用广义K分布拟合、矩匹配、相关数据中的有效样本尺寸估计以及分数阶顺序统计方法可以合理/有效地获得相关K分布杂波的累积统计量与顺序统计量的概率分布函数的拟合表达式并对恒虚警检测门限进行合理设计。理论分析以及仿真实验结

果表明：本文提出的方法为高分辨雷达常用的滑窗积累检测器以及顺序统计滑窗积累检测器的性能分析提供了一种可行的技术途径。

参考文献

[1]WARD K D，TOUGH R J，WATTS S。Sea clutter： Scattering， the Kdistribution and radar performance＼[M＼]。 London： The Institution of Engineering and Technology， 2006：13-195。

[2]何友，关键，孟祥伟，等。雷达目标检测与恒虚警处理＼[M＼]。 2版。北京：清华大学出版社，2011：178-200。

HE You， GUAN Jian， MENG Xiangwei，et al。Radar target detection and CFAR processing＼[M＼]。2nd ed。Beijing： Tsinghua University Press，2011：178-200。（In Chinese）

[3]孙文峰，何松华，郭桂蓉，等。自适应单元积累检测法及其应用＼[J＼]。电子学报，1999，27（2）：111-112。

SUN Wenfeng， HE Songhua， GUO Guirong， et al。 Adaptive rangecell integrated detection method with application＼[J＼]。 Chinese Journal of Electronics， 1999， 27（2）：111-112。 （In Chinese）

[4]何松华，李娟，陈威兵，等。基于限带参数模型的距离扩展目标检测＼[J＼]。湖南大学学报：自然科学版，2010，37（3）：69-73。

HE Songhua，LI Juan，CHEN Weibing， et al。 Study of range extended target detection based on bandlimited parametric model＼[J＼]。 Journal of Hunan University：Natural Sciences，2010， 37（3）：69-73。 （In Chinese）

[5]AAHMADI S A，YANIKOMEROGLU H。On the statistics of the sum of correlated generalized K RVs＼[C＼]//IEEE International Conference on Comminications （ICC）。Cape Town， South Africa，2010：1-5。

[6]MARTINEZ C L，POTTIER E。On the extension of multidimensional speckle noise model from singlelook to multilook SAR imagery ＼[J＼]。 IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing， 2007， 45（2）：305-320。

[7]BITHAS P S，SAGIAS N C，MATHIOPOULOS P T，et al。On the performance analysis of digital communications over generalizedK fading channels ＼[J＼]。 IEEE Communications Letters， 2006， 10（5）： 353-355。

[8]MCGRATH N。Effective sample size in order statistics of correlated data ＼[D＼]。 Boise： Science in Mathematics of Boise State University，2009。

[9]LEMOINE C， BESNIER P， DRISSI N。 Estimating the effective size to select independent measurement in a reverberation chamber＼[J＼]。 IEEE Transaction on Electromagnetic Compatibility， 2008， 50（2）：227-236。

[10]周万幸。基于SIRP的时空相关K分布海杂波仿真研究＼[J＼]。电子学报， 2009， 37（12）：2672-2675。

ZHOU Wanxing。 Study of spatialtemporal correlated Kdistribution sea clutter simulation based on SIRP＼[J＼]。 Chinese Journal of Electronics， 2009， 37（12）：2672-2675。 （In Chinese）