李以增

(杭州电子科技大学，浙江 杭州 310018）

基于偏微分方程（PDE）的非线性流形计算

PDEbasednonlinear manifold computing

李以增

(杭州电子科技大学，浙江 杭州 310018）

如果想要对系统动力学的特征进行充分的了解，就离不开不变流形的计算。通常情况下，采用解析表达式求解的方法是无法计算不变流形的，只可以采用数值计算的方法。本文思路是：将流形局部参数化，转换成对类线性偏微分方程(PDE)进行求解，欧拉体系的建立可以提高求解偏微分方程的效率，然后在建立Lorenz模型的基础上做了仿真的实验。

偏微分方程；非线性；流形计算

在2004年，Vladimirsky与 Guckenheimer两人共同提出PDE 算法，这种算法可以迅速逼近不变流形算法。有关对微分方程进行求解的问题，在这种算法中可以完全避免，所以属于一阶逼近不变流形，流形余维（n—k）越高，运算新增加网格点的量就越大，因此和其他的一些算法相比较，其精度并不高。如今，对于任意维当中的二维不变流形的计算，比较适合采用PDE 算法。

1 PDE算法

1.1 计算流形上点

若方程不变流形的局部参数化是曲线y= (x,g(x)) = (x1,x2,g(x1,x2))，那么曲线g(x1,x2)切线向量是f，所以可以得到如下的方程：

不难看出，方程（1）属于一阶类线性PDE方程。

将方程（1）离散化，采用的是Euler法，假设G(x1,x2)是分段线性逼近g(x1,x2)的，将三角形 yy1y2进行充分地考虑，在这里：

图1 有关方程（2）求解的几何解释

式（2）采用Newton—Raphson 的方式就能够将G (x)解出来，如果不是一般的情况，情况比较特殊的话，方程（1）的求解可能更容易。所以进行局部条件的选取，使G(x1)=G(x2)=0，若假设 y=(x,0)，三角形yy1y2上面的单位法向量为ω，那么对于方程（2）的求解就可以转化为找α∈R，使 y=˜y+ αω，f(y+αω)在y1y2的平面之中。……