于江洪

分类讨论思想是常用的思想方法，是重要的数学思想，是一种逻辑方法。在解决数学问题时，通过正确的分类，可以使复杂问题得到清晰、完整、严密的解答，它体现了化整为零、积零为整的思想和归类整理的方法。分类的原则是：（1）分类对象的确定，标准要统一；（2）不重复、不遗漏；（3）分层次，不越级讨论。分类的步骤是：（1）确定讨论对象和全域；（2）科学分类；（3）逐步讨论；（4）归纳小结，整合得出的结论。现根据引起分类讨论的要素阐述分类讨论思想的应用。

一、由定理，公式的条件引起的分类讨论

有的概念本身是分类的，如绝对值、直线的斜率、指数函数、对数函数；有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论是不一样的，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等。

侧，函数f（x）=a^x-a^-x（a>0且n≠1）是定义在R上的奇函数。若 且 在 上的最小值为-2，求实数m的值。

解析：由 ，得 ，即 ，解得 （舍去）或a=2。

令 ，则

在R上单调递增。

由x≥l，得 。

若 ，则当t-m时，h（t）取得最小值-2，即 ，故m=2。

若 ，则当 时，h（t）取得最小值-2，即 ，应舍去。

综上所述，m=2。

二.由参数变化引起的分类讨论

某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式问题，由于参数的取值范围的不同会导致所得的结果不同，或对于不同的参数要运用不同的求解或证明方法。

侧2设函数 ，其中ab≠o，试讨论函数f（x）的极值的情况。

解析：f（z）的定义域为 ，

（1）当ab>0时，如果a>0，b>0，则f'（x）>0，故f（x）在 上单调递增；如果a<0，b<0，则f'（x）<0，故f（x）在 上单调递减。故当ab>0时，函数f（x）无极值。

（2）当 ab

①当a>0、b<0时，f（x）、f'（x）随x的变化情况如表1所示。

由表1可以看出：函数f（x）有且只有一个极小值点，极小值为 。……