王 娟田玲玲赵 旭

（1.陕西师范大学商学院, 陕西 西安 710119；2.陕西师范大学数科院, 陕西 西安 710119）

创意平板折叠桌的最优设计

王 娟1田玲玲2赵 旭2

（1.陕西师范大学商学院, 陕西 西安 710119；2.陕西师范大学数科院, 陕西 西安 710119）

文章研究了平板折叠桌动态变化过程的问题.分别利用空间几何、整合和转化的思想,建立以钢筋在桌腿开槽中滑动的空间曲线方程模型和以桌腿长度为决策变量,用材最少为目标函数,稳固性良好及加工方便为约束条件建立单目标线性规划模型,结合 MATLAB软件求解最优设计加工参数，并用LINGO和MATHEMATICS软件解出当桌高为70cm，桌面直径是80cm时最优加工参数，推广了桌面边缘线为椭圆时的最优加工参数。

空间的思想；空间曲线方程模型；整合、转化思想；单目标线性优化模型

1 引言

本文研究的是2014年全国大学生数学建模竞赛B题[1]。随着人口数量的逐年增长，有限的空间资源越来越宝贵，因此对于既能满足生活及审美需要又能节省空间产品的探究有着深远意义。

某公司生产一种折叠桌，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度[2]。问题一，给定长方形平板尺寸为120cm×50cm× 3cm，每根木条宽2.5cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm。建立数学模型描述此折叠桌的动态变化过程，给出此折叠桌的桌腿木条开槽的长度设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述.问题二，在保证折叠桌稳固性好、加工方便、用材最少的前提下，对于桌高70cm，桌面直径80 cm的情形，讨论长方形平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等最优设计加工参数。问题三，根据所建模型当客户任意设定折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，以椭圆为例给出最优设计加工参数。

2 模型建立与求解

2.1 折叠桌动态变化的几何模型

首先讨论折叠桌的动态变化过程，将其中的一个三角形抽象出来进行分析，分别以第i、i+1根桌腿从桌子边缘到钢筋的长度以及第i和i+1根桌腿之差，即ai、ai+1和bi+1为三角形的三条边。此时的角度αi+1是指桌子在撑开过程中第i+1根桌腿与桌面的夹角。每根桌腿与桌面之间的夹角 αi+1与钢筋所在位置的关系可表示如下：

图1 三角形示意图

由此建立平板折叠桌每根桌腿中钢筋位置距桌面边缘距离随着每根桌腿与桌面之间夹角的变化的空间曲线方程模型：

根据递推的原理可求得其余的桌腿中钢筋位置距桌面边缘的距离随角度变化的动态过程。

将平板划分为四个对称的区域[3]，只需计算出其中一个区域的十条桌腿长度即可。以下为桌子折叠前的示意图：

图2 平板折叠边桌折叠前的示意图

图 2中，在Rt△ABC中，AB的长度为圆的半径r，即AB=AF=r=25cm，CF的长度为桌腿宽的一半，即 CF=1.25cm，由勾股定理有=7.8062cm。

由几何关系可得最长桌腿的长度l0为平板长度a的一半与 BC的差值，即= 52.1938cm。

以此类推，可依次求得最长到最短10根桌腿长度为

其中，li为第i根桌腿的长度，d为桌腿的宽。

从而相邻两条桌腿之差为

由相似三角形的性质得桌子折叠后高度为桌子撑开时垂直高度的一半，即h/2，又钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上且与桌面形成线面平行，故由勾股定理有

式中，ib∑ 表示该开槽所在桌脚与最长桌脚的长度差值。

通过如上讨论和分析得到桌子在完全撑开后该模型可表示如下：

此时桌腿与桌面之间的夹角是一个定值，在计算最长桌腿与水平面的夹角时可先计算其与竖直方向的夹角，再加上90°即为所求角度，如下图：

图3 桌腿与桌面之间夹角示意图

由以上模型结合MATLAB软件[4]求解出相关数据如下表：

表1 十根桌腿的相关结果

以钢筋与桌子边缘交点O为原点，钢筋所在竖直面为xOy面，平行于平板宽的方向为x轴，平板长的方向为y轴，垂直于平板的方向为z轴，建立空间直角坐标系如下图：

图4 折叠桌动态变化的坐标系

将每个桌腿开槽相对于钢筋的运动分解为两个方向的运动，一个方向是在xOy平面上的上下移动，如图中点a、b、c、d、e、f、g、h、i、j平移到点a*、b*、c*、d*、e*、f*、g*、h*、i*、j*所在位置的过程，上下移动的距离即为每个木板上开槽的长度; 另一方向是桌脚在yOz平面上以a*、b*、c*、d*、e*、f*、g*、h*、i*、j*位置的点为圆心进行旋转，旋转角度就是桌子完全立起来时每个桌腿与竖直方向的夹角.可得桌脚边缘线是由钢筋的运动曲线在y轴方向上平移最长桌腿长度的一半得到的.最终形成的曲线在xOy平面上的投影曲线中各点的横坐标即每个桌腿宽度的中点距桌子边缘的距离，即

竖坐标为桌子撑开时钢筋所在位置到桌子边缘的距离在竖直方向上的投影，即 z=aisinθ，其中，θ指桌子撑开时桌腿与水平面的夹角.代入在上述几何模型中求得的数值运用MATLAB软件进行曲线拟合可得参数方程：

其中，t为离散变量，取值1,2,3,…,10。

用 MATLAB软件对三个参数方程分别进行曲线拟合如下[5]：

图5 x的拟合曲线

图6 y的拟合曲线

图7 z的拟合曲线

三次拟合的可决系数分别为1、0.9986和0.9998，说明拟合度很好。由此可得，从长到短十根桌脚的桌脚边缘线的方程为：

用 MATLAB 软件画出桌子撑开时其中从长到短十根桌腿的桌角边缘线在空间中的图像如下：

图8 桌子撑开后桌脚边缘线在空间中的分布图

图8中，曲线上的点距离xOy平面越来越远，说明随着桌腿从长到短，开槽长度越来越长，钢筋在该开槽里的运动轨迹越长。

2.2 对于给定的设计要求确定最优加工参数

根据物理知识分析可得当桌面与桌子的四条腿连线正方形相切时为桌子的稳固性临界态，且由几何知识得，此时桌子在给定高度和半径的前提下所用材料最少。

通过以上分析和讨论可建立以桌腿长度为决策变量，使用材料最少为目标函数的单目标线性规划模型[6]，其中，约束条件有两类：一类是稳固性的约束；另一类是开槽长度的约束[7]，所建模型如下：

目标函数： min z =80× 2 (l0+n)×3.

约束条件：

其中，z表示长方形平板的体积，n为桌面半径与第 1根桌腿的插值长度，λ为钢筋距底端占整条卓腿长的比例，是稳固性临界状态下支撑腿的长度。

运用LINGO软件解得：长方形平板尺寸为169.8457cm× 80cm×3cm，z=82005.94cm3，＝72.43285cm。

而临界状态下不是最优解，最优解为

假设钢筋的位置在从底端起占整条桌腿长比例为λ处，分别以支撑腿、相邻桌腿从桌子边缘到钢筋的长度和这两根桌腿之差，即hλ、l0λ和b1为三角形的三条边作出下图：

图9 支撑腿与其相邻桌腿之间的关系图

根据余弦定理，得

运用 MATHEMATICS 软件求解得：λ＝0.7748。求得开槽长度xi，结果见下表：

表2 十根桌腿的数据结果

2.3 对于任意的设计要求确定最优加工参数

在桌子未撑开时，以矩形材料的中心为原点、水平面为xOy面、竖直方向为z轴建立空间直角坐标系。从yOz平面的方向看，对于最长的桌腿l0而言，有.

桌子完全展开后钢筋在开槽中的位置与桌面边缘线的距离可分解为横轴、纵轴和竖轴三个方向上的距离可表示为空间曲线方程模型如下：

在用户给定桌子的高度、厚度及桌面边缘线的形状的情况下，将这些参数代入模型即可求得桌子撑开时钢筋与桌面边缘线的距离ai，即

根据空间曲线方程模型，设计桌面边缘线的形状为椭圆，其中椭圆的长短轴分别120cm和90cm，桌子高度为100cm。运用 MATLAB软件作出桌面边缘线为椭圆时桌子撑开的动态变化图如下[8]：

图10 椭圆第一阶段图

图11 椭圆第二阶段图

图12 椭圆第三阶段图

图13 椭圆第四阶段图

运用 MATLAB 软件计算桌腿上的开槽长度分别为：(单位：cm)0.0107、0.0451、0.1115、0.2290、0.4399、0.8381、1.5948、2.8701、4.6657、6.9128、9.5781、12.6694、16.2243、20.3083、25.0235、30.5308、37.1024、45.2677和56.3817。

3 评价与推广

参数计算通过计算机编程实现，减少了计算的复杂度，提高了结果的科学性。根据杠杆原理并结合生活常识分析折叠桌的稳固性，并将其量化成最长桌腿的桌脚间距离与桌面半径之间的等量关系，使稳固性这一抽象概念更加具体。但该模型在对折叠桌的稳固性进行分析时，只考虑最外侧四条桌腿对稳固性的影响，并未考虑其它桌腿对稳固性的影响，结果不具有普遍性。

该模型可推广至平面设计、城市规划等领域中，相关圆形、椭圆桌面各参数的讨论也可以应用于分析桌面为正多边形或不规则多边形时各参数的变化情况。

[1] 中国工业与应用数学学会.2014年全国大学生数学建模竞赛[EB/OL].http://www.mcm.edu.cn/html_cn/node/93b5f5d 9986693c2ebd67962cdc7d9df.html,2014-9-12/2010-09-12.

[2] 韩佳成.平板折叠边桌[J].设计,2012,(8):24.

[3] 穆玉杰.图形显示中的几何变换[J].纯粹数学与应用数学,1993,9(2):1-8.

[4] 马明书,孟燕玲,朱霖霖.三维抛物型方程的一个高精度恒稳定的 PC格式[J].纯粹数学与应用数学,2009,25(3): 459-463.

[5] 陈杰.MATLAB 宝典[M].北京:电子工业出版社,2010.

[6] 胡运权.运筹学教程[M].北京:清华大学出版社,2012.

[7] 徐语论,赵德芬,王薇.由任意初始点求解离散型约束全局优化问题[J].数学杂志,2011,31(3):539-546.

[8] 安凯,于红斌,张霄雨,等.基于无约束优化的创意平板折叠桌设计[J].福建电脑,2014,(8):24-25.

The optimum design of creative flat folding table

This paper studies the question about the dynamic change process of the flat folding table. By using the space geometry, integration and transformation, respectively, establish a space curve equation of the model that the steel slides in the table leg slot, and single objective linear programming model with table leg length as decision variables, material minimum as objective function, good stability and easy processing as constraints,combining with the MATLAB software to solve design processing parameters and LINGO、MATHEMATICS soft wares to work out the optimal processing parameters when the high table is for 70 centimeters and the desktop is a diameter of 80 centimeters. Promote the optimal processing parameters when the desktop edge line is ellipse.

The idea of space;space curve equation model; integration、transformation of ideas; single objective linear optimization model

O29

A

1008-1151(2015)02-0118-04

2015-01-13

王娟（1993－），女，内蒙古呼和浩特人，陕西师范大学2012级本科生，研究方向为财务管理。